编号 莆 田 学 院毕 业 论 文课题名称：关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记系 别 数学系 学生姓名 学 号 专 业 数学与应用数学 年 级 03 级 指导教师 2007 年 6 月莆田学院学士学位论文I目 录摘 要 .IIAbstract .III原创性声明（学生） .IV原创性声明（指导老师） .V0 引言 .10.1 记号说明 .10.2 研究现状 .11 预备知识 .22 主要定理及证明 .23 猜想 1与猜想 2的解决 .84 猜想的应用 .9参考文献 .12致 谢 .13莆田学院学士学位论文II关于一类矩阵秩的恒等式猜想的注记摘 要采用分块矩阵，初等变换以及数学归纳法，证明了文献1中提出的猜想并对这个猜想进行推广。探讨 Sylvester 不等式的等号成立问题，从而得到 矩阵秩的和与矩阵乘积的秩两者之间的关系。【关键词】分块矩阵 初等变换 矩阵秩莆田学院学士学位论文IIIThe Remark to The Speculation of A Class of Matrix Rank IdentitiesAbstractBy using the block matrix, the elementary transformation as well as the mathematical induction, we had proven the speculation in the literature 1 and generalized the it .We discussed the question that made the Sylvester inequality be equal, thus obtained the rela- tionship between the sum of the rank of matrix and the rank of the product of matrix.【Key Words】 Block matrix; Elementary transformation; Matrix rank莆田学院学士学位论文IV莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位毕业设计（论文）作者签名：日期： 年 月 日莆田学院学士学位论文V莆田学院学士学位毕业论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在本人的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。指导教师签名：日期： 年 月 日莆田学院学士学位论文10 引言0.1 记号说明本文使用以下记号：表示矩阵 的秩；()RA表示矩阵 是数域 上的 阶矩阵；mnPAPmn表示矩阵 是复数域 上的 阶矩阵；CC表示数域 上多项式环；x表示 相应阶数的单位矩阵.mE0.2 研究现状本文所研究是矩阵秩的恒等式问题。众所周知，Sylvester 不等式是矩阵秩的一个著名的结果，在求矩阵秩的相关问题中处于重要的地位，我们感兴趣的是其不等式何时取等号。如果 Sylvester不等式能取等号，这将是一个很好的公式。文献1将 Sylvester不等式中的矩阵限定为 的形式，给出矩阵秩的一些恒iAkE等式结果并提出下列猜想：猜想 1 设 ， ，当 满足适当条件时，则nAP12,tkP 12,t1 1()()ti ii iRAEtnRk 猜想 2 设 且 ， ，当 满足适当条件时，则n212,tk 2,t1211()(,)(,)ti t ti tnfkAfkE 其中 是关于 的多项式。12,f2,tk2007年文献2将讨论的数域限制在复数域上，然后利用矩阵的 Jordan标准形的性质证明了猜想 1是正确的。Jordan 标准形是个很好的研究工具，但是它也存在局限性即 Jordan标准形仅在复数域中有效。本文讨论的数域将不作限制，采用分块矩阵的性质及初等变换证明猜想 1成立，进而证明猜想 2亦成立，并对相关的矩阵的恒等式莆田学院学士学位论文2作进一步推广。1 预备知识引理 13（著名的 Sylvester不等式） 设 则,mnnsAPBRABR引理 23 初等方阵从左边乘以矩阵 A相当于对 A作初等行变换. 初等方阵从右边乘以矩阵 A相当于对 A作初等列变换. 初等变换不改变矩阵的秩.引理 34 设 则,nABP0()RRB 则,nC()A引理 42 设 两两可交换,那么当 可逆时,12,nABp12,B12B1RAnRA引理 55 设 ，若 且矩阵()(,)iiifabE12,a不 为 零 12()fAcf的特征值全不为 ，则 。1()fA112(fnf2 主要定理及证明定理 1 设 ， ,当 两两互异时,那么nAP12,tkP 12tk等价于121ttkEAkE 1()()tEAkE 证明 （采用数学归纳法）莆田学院学士学位论文3 当 t=2时 12 121 20 00E EAkEAk Ak 11200kk 0P120Ek120Ek120aAbE所以等价于120AkE120aAbE故当 t=2时结论成立. 当 t=3时， 12 121 230 0000EAkAk AkEE EAk 1212 30()( 0)EAkEAk 1P121213 100 0()kAkE EEEP 121230()0)(AkEkkEA 2莆田学院学士学位论文412 32132312312()()0000EEEkEkAkAkEP 12300()EAkEAk 所以等价于0E1230()()(0)kkE 故当 t=3结论成立. 假设对所有 结论成立，则有1mt等价于121mAkEAkE 1()()mEAkE 于是存在可逆矩阵 使得,PQ121mAkEAkE Q= 1()()mEAkE 那么当 时，1tm2 10 0mAkEP QEAkE 莆田学院学士学位论文51 1()()00mmEAkEkAE =1 1()()()Pm mgAkEAkEgAkE 令 4P由于 互不相同，那么多顶式 为两两互素。(1,2)ik ixkP根据带余除法定理 6知 1()()mgxpq其中 且 .（若 ，则 ，这与 两两互素矛盾）pxPX0q(kgxik因此，矩阵多项式 , .1()()mAEnAP()EEpA 4E1()0)mEgAqEk 5P莆田学院学士学位论文610mEEAkq 5P01()EEgAq 101()mEqEgAkq 6P10EqE 6P0EqE11()()mEEAkkE 等价于12 1mAkEAkE 11()()mEAkE 故所以当 时结论成立。1t即定理 1得证。定理 2 设 ,1,2niABpit 两两可交换。1,tAB莆田学院学士学位论文7那么当 可逆时, 等价于 。(1)ijkBijttMtN其中 21t ttAkBMAkBk 1211tt iti tiikBNkBAkB 证明 证明过程同定理 1。莆田学院学士学位论文83 猜想 1与猜想 2的解决猜想 1 设 ， ,当 两两不相同时,则有nAP12,tkP 12tk1 1()ti ii iREnRAkE 证明 由定理 1可知121 1()()tt tAkEERRAkEAkE 由引理 3可得， 1 1()tti ii iRAkEtnR 即猜想 1得证。注 由此可知猜想 1正确性。对猜想 1文献2也给出的证明，但文献2讨论的数域仅仅限制在复数域内，而本文对猜想 1的讨论可以不受数域限制。猜想 2 设