第一讲 随机变量的数学期望和方差 P89 P98,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量x的概率分布，那么x的全部概率特征也就知道了,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了,在这些数字特征中，最常用的是期望和方差,一 离散型随机变量的数学期望和方差,例1 设射击选手甲与乙在同样条件下进行射击其 命中环数是随机变量，分布表如下：,问: 如何评价甲和乙的技术?,下面从(一)平均命中环数和(二)从命中环数的集中或离散程度角度进行分析,一 分析平均命中环数,给甲100发子弹则甲命中总环数大约为:,平均每发命中环数估计为:,记为,EX,称为随机变量X的数学期望,EY,=5.6,=8.85,=8.85,评价：,因为 EX=8.85, EY=5.6,从平均命中环数看，甲的水平高于乙,这种反映随机变量取值平均的值恰好为 随机变量的一切可能取值与相应概率乘积的和,二 从命中环数的集中或离散程度角度考虑,请看下列散点图,图(1)比较集中,图(2)比较分散,请看下表：,偏差平方的平均值为:,EX=8.85,10-8.85,0.5,9-8.85,0.2,8-8.85,0.1,7-8.85,0.1,6-8.85,0.05,5-8.85,0.05,0-8.85,0,=2.23,DX=,同理,DY=10.24,从偏差平方的平均值看：甲优于乙,设随机变量X概率分布表为,X数学期望(或均值)定义为:,二 离散型随机变量的数学期望和方差定义 P89 P98,EX=,+.,+.,X方差定义为:,DX=,+.,+.,偏差的平方的平均值,例1 设x概率分布表为,求 E(x) D(x),解,例2 设x概率分布表为,解,求 E(x) D(x),(p+q=1),例3 P90 按规定某车站每天8:00-9:00, 9:00-10:00恰有一辆客车到站,各车到站的时刻是随机的,且相互独立,其规律为,旅客8:20到站,求他候车时间的数学期望,解,X-候车时间,10,30,50,70,90,解：,例4 设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取1只，求在取到正品之前已取出的废品数X的期望。,X的分布律为：,即,解,例5 设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内期望利润是多少？,X-一周5天内机器发生故障天数，,Y-一周内所获利润,同理,设连续型随机变量X概率密度函数为,三 连续型随机变量的期望和方差定义 P89 P98,X的数学期望(或均值)定义为:,x(x),X的方差定义为:,(x-EX)2(x),例5 随机变量X的概率密度为,求 E(X) D(X),解,