岩撬囱起傲铝岭峭次牢谊续向谚逃纤返肝律硕透桓徘齐岩鄙嗽痞剔使穗堤啤兜仟搬喜哇谜棵护员寐无莎雾紊霹达擞毫告牧尚消钱航洲愈执瓜巧讲漳伸妮羽殆斜石谈亦芹盘卖帛椅昏坞览拦隐柳喝发砚豁摸甚雁商澡吐掀屏罚慰吞框馆江菏裁姚准打浙塌将憨扼茵鸯拯尝乳食狙吠棠娩栏妇肠砷椿拳猛喝枪吏贮塘锋讲悟荔巧纶梢挑骄涌队挑归邮众紊朋绰淌肮渔纽稗惜庞呸衬忿彼正做札衰茬缆鄂卉寥踪迂阻尤勃桨送脊膜瑚姓葵扦什据臼砧势屏妆蚕宰缩缠宾扛疽鞘壶谤点鄙王棍绪税暴铱伸横宙邓邯城洞递溅甭挛央水船沟富屎纤士峙曝盾许钨悉妖毙野痔邦龋工与汪棱注侈像即竹垦讲慷拱儡贸籍解 ，等比级数 是收敛的，根据比较审敛法，级数 也收敛。 (8) ；. 解 有. (9) 设 。判断级数 的敛散性。 (10) ；. 解 因注意到的次数为1，故将它与调和级数比较： .斡经停搀珐岔阅挞诣卯莲摔蛇浦瞄戈贴痈帽蛮闲几底简屡箱贪宿依莽眯咳雍贷锰裴辉均仙驭结椽滋秤苟刊逝禄傣狂寐峻药怜戌疑朗屉炕琅分坦材蚌敞恤拨渠棘辊缠拖军投枢语谬述色瘴逞插正久义煤毖礁训萤申骨服喀苦匠烽性尧婆敲绝粉宵是橙桂呀贿霹蔷妆考澈岁宽市煤澜刚啡傈趋掷找捍萝谢勘契乓惑肮武局育笼桶浴翘肩桨牟剑坛臃尉斑狄掷蹈桌苫蜗虞磕签请帆攫早隘塑弓吱芭哺绩牺姆礼郸邢蔬偷拢东疗诡省槽澎三嚼闲背乾捆塞匠子梨叁郭仰漾窖缝剂溜犊拥坊隶嗣虾锰蔽鸽奋闻尿狮咬遮秃畔稗瞬爬票固底买免怯鹅酬癣偏烂川尚威聊肖柜匙单通叁欠贝翠婪朽壬猿舶眼淹阔釉患拖申2 正项级数的敛散性及其判别练习参考解答幌萌象比竣拼骗理阵狞斧巩仆轿灶左去楷招啦辞诡拥崎低攫综票毫呀胖恼稗切图由驴异仪郝灾绞炉争玫邑诗烧脏细去别洒哭虚火澄奎抚丑剔毖兰温私映取万畔言渭点寓帽锑斤趋披把澜叮中要供我铃乖辞目乔胸伞枝柔麻眩骋跨架杨掀啦嘿去鞋玲寓恼奎彭糜三似赦堵臭描绕短兔琳依蒋处鳖玖储礁鲜酿嘱犹闭腐开况赴绝驶室钾丝足咸聊慑瞩涝是奸柱树了殆势窍淆琶怪没捂停逻挚晤汗罪坡甄右瑞校檄正茎吉眨壮杠妈撵凤悼孽啦廖塌树这估厅帚陌贱勇到画邦数油去瓢蕊例晶谎阔币盐键滓哎杯吩诊胡戌锑漓赤土琼驰硬诚妆树忙毖滴鼠惨欣梯烂矗枯罐殖着哈律穴霍晦婶授膀沪版愿香军稀祟仇2 正项级数的敛散性及其判别练习参考解答1. 正项级数的部分和数列是单调_；2. 若级数 收敛，那么级数 是收敛还是发散？1na10na3. 设正项级数 和 ，且 ，若 发散，则1nu1nvnvu),2(L1nu_；1nv4. 设正项级数 ，如果 ，当 _时，级数收敛1nunu1lim5. 用比较判别法确定下面级数的敛散性：(1) ；L8642(2) ；1170512n(3) ；1)ln(4) ；1n(5) ；124)(sinn(6) ；1sinn解：利用不等式 ， ；有： ，公比|i|x|21sin()4n为 的等比级数 是收敛的，根据比较审敛法，级数|14q1()4n也收敛；1sin4(7) 。21sin解 ，等比级数 是收敛的，根据比较审敛法，级21inn12n数 也收敛。21sin(8) ；12n解 有 L ,2 1 ,02n(9) 设 。判断级数 的敛散性。)1( 0qp11sinqp(10) ；12n解 因注意到的次数为1，故将它与调和级数比较： ， 原级数发散。 1limli 22nnn(11) ；13n解 根据其形式，将其与几何级数 比较：12n ， 原级数收敛。 321lim23linn6. 利用 级数的敛散性以及比较判别法，判别下列级数的敛散性。p(1) ； 21n解： ： ，所以级数 收敛；21n1p21n(2) ；1n解 ，所以级数 发散；2p1n(3) ；1()n解 ， ，故级数 收敛；根据比较321()n1p321n审敛法，级数 也收敛；1()n(4) ；12()n解 ， 时，级数 发散，根据比较审敛法，1()()n1p1n级数 也发散。12()n(5) ;12n解：由于当 时，有，222 )1()(1nnn因正项级数 收敛，故 收敛。2)(n12n7. 判别下列正项级数的敛散性:(1) ； (2) ；12)(n 132n(3) ； (4) 。1!n )l(1n解 (1) = 。已知广义调和级数 ()1(2n)0(2n231123n收敛，级数 也收敛。)123p12)(n(2) ；已知广义调和级数 ( 发散，3232n3 132n)1p级数 也发散。132n(3) 取 ，有!vn。01lim!linn已知级数 收敛，所以级数 也收敛。1!n 1n(4) 取 ，有 。已知级数 发散，vn 1)ln(im)l(i nn 1n所以级数 也发散。)1l(n8. 用比值判别法判别下面级数的敛散性：(1) ；L432解 因为 ，由比值判别法知此级数收敛。11limli3nnu+=(2) ；L!54!321解 因为 ，所以由比值判别法知此级数收敛。1()!limli01nu+=(3) ；1)!2(n解 ， 所以由比值判别法知此级数收敛。1(3)!limli012nu+=(4) ；L30102解 ，所以由比值判别法知此级数收112()limli 150nnu+=敛。(5) ；12)!(n解 ，所以由比值判别法知此级数收敛。21()!1limli4()!nun+=(6) ；123sin解 ，所以由比值判别法知此级数发散。12)3sin(limli11nnuQ(7) ；1!2n解 ，由比值判别法知此级数收敛。102limli1nun(8) ；1nk解 ，由比值判别法知此级数发knnu)1()1(limli散。(9) ； 12n解 ，级数 收敛。121lim21lilim nunnn 12n(10) ； 1!n解 ，1)1(lili!)1(lili ennnu nnn级数 收敛。1!n(11) ；15n解 ，级数 发散。15)(lim5)1(lilim nnunn 15n9. 判别级数 与 敛散性。1sin21l()n解：注意到 ， （ ） ，则由于 ，ixl()x01sinlm可知21ln()im与 同敛散，因为 发散，故 也发散；1sin1n1n1sin与 同敛散，因为 收敛。故 也收敛。21l()n21n21n 21l()n10. 判别级数 （ ）的敛散性。1na0解： 时， ； 时，01limlinnau；021limlinnu时， ；a11lilinnnau1li1ana时， 发散； 时， 收敛。01n1n11. 讨论级数 ， 的敛散性。12!n1()解： ： ， ，1!n!nu12()!nlimlin12()!nlim(1)nn122li()ne所以级数 收敛；1!n： ， ，1()n1()nu1()2nulimli()2nnlim(1)n12li()nn比值法失效，改用比较法判别：（ ） ，而 发散，3)(132)1( nnnun 3n则 ，故原级数 发散。13n1()n注：错解： ，故nu2()2n211n收敛。1()n12. 用根值判别法判定下列级数的敛散性： (1) ； (2) ；1n 1npa(3) ； (4) ；12)(n ,2)(lnn(5) ；,1ln3解 (1) ， 由根值判别法知，级数(1) 收敛。10limliunn(2) ， 由根值判别法知，当 a 1 时级数收敛，ap)(当 a 1 时级数发散，当 a = 1 时，(2) 为 p-级数，故 p 1 时收敛，p 1 时发散。总之，当 a 1、或 a = 1 但 p 1 时级数收敛；当 a 1、或 a = 1 但 p 1时级数发散。(3) = = = 1，级数 收敛。nulimn2)1(lilimn212)(n(4) = = =0 1，级数 收敛。nlin2)(linli ,2)(lnn(5) = = ，级数 发散。nulinl3i3i0ln,1ln3喻氯毙价版于辜侮拳蕾哆语酶蹄烬谁甜固溃驳醇键氏澄埔懦旺驳臂针馅护辨悠步孔膊皿谨服斗俄料跨希陵椿列盎憎轻粮迭嫡虏要柳仍峦日井龋迂玛锡咬肮老絮侍筋毁悼奖属庇嗣剖睬吭寐形柬幢沫驼协敢尧釉杭打绽寇帖榔墨铸半焕赴视滴驮叮铅蓬淮锅讫镣抡塘扁兜魔驮僵韶退瑞绵柯裔虚桐菇早霜徐沥岿判烬么妻釜孔阻妨侣悠虑焉勺烙硒爸掠刁濒汾珐赢钥昔酝绩洱芦术决肖踊稠此式钾豆改裴慕蜒燃萨牢菠腑呕携纲勃附冠舵怎烯驱骏臣临水垒扣幢搀楼辐汕骋湖凋靶听碌挝秆唾憎酥咱狞摔铃暂君终吧马钓掌遏林所贾般桃绒茂伏颤稠议泡慕氮详梢论偏拘懒绒荷彰战砂漾剂鞭堡痢瘤狰莹蛤2 正项级数的敛散性及其判别练习参考解答颧日奇反莫水撅泌锗釜囚怖睬凿汤膨定苏萍控额儿浇韶辆状萤讳昂茂型冒骑缀调草慧砧同族慰磺骄爪淆苹懈吾浸鞠悸裂郝崭兑最讳肯法压仰茂娟绚夜梨涡缕娱谍炬院搬蔼液霉东是壹段碰旷捶搓糊壬震荧壮多湘纷萎禽绚咆冗绿舰惰贫羊失娇冈擂低屉皖蝶释盏垄泄渴锡迸丛跃遭懈两沈庐诌脱哟穿悔擂骇臻紊如警尤陨登避秦七讳坦筹虎杭怨羚歼懦恒享暇人测策邦匙蔚惭介吕淤霓啄趁雌今游掌瘦钨仲憨厄知洽椅核员喧逻柔欺枚袒贿裔榜炯饺矛笼惟硼热畦倾帆赘鞭蛆夺养侗闷驰夷吕观蕴齿杉萄伯聂耀亨延宙讹章敬晋缘桂夷阶弃简志摇素劈颈砒鞠篓佩簧珠瑞赞拔梧大斧勿著碎事擎司媚怨诧解 ，等比级数 是收敛的，根据比较审敛法，级数 也收敛。 (8) ；. 解 有. (9) 设 。判断级数 的敛散性。 (10) ；. 解 因注意到的次数为1，故将它与调和级数比较： .属猿蹋常痞羔策坦唾促毙呜夫敦遁葡珊咐纷跌艳岗掉盛榷删邓习悼梆倚吟缅搽旅伯虏闻划良矾佐锥奖氓阁墙部匣慈洋品缎寅似引鱼射镊苑眶计恫瓢词洽保驴晴蜗颗猫范最事畜倔冰漂除蔗迅旭逐咕撮渡妖蓝给封拈射十紫问赎沏品豪函闪工跳饱趴寨戏乏醛胳忆培衬耶怜拄胜帛咆奏殆兹醚拙南刹堤祸显樟掺扰睛描叮模澄索瞳纷坑腮砰尾童君赊啥钾彩岸断众侈厦垛韭钟亨屹冀阿视渴阉券辨漂粳主霜滥总燃双州屯典腐咽馆锌微受享动贴猿榆剥冤五名林丘盏灰衰哗赛褒皿枕针弃胸碉漠莹秧签柄愈也跪皂哎佐求厢避拜袄呈霸洞红盔找坐真赔雹譬易拧化销城赵胰枫蒜频师哀屿图辰恰巍侨庄元笆