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达标训练基础巩固1.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列那幅图(26.3-9)刻画( )思路解析:被踢出的足球运动路径为抛物线.答案:B2.一位篮球 运动员站在罚球线后投篮,球入篮得分.下列图象中,可以大致反映篮球出手后到入篮框这一时间段内,篮球的高度 h(米) 与时间 t(秒) 之间变化关系的是( )思路解析:投出的篮球运动路径为抛物线.答案:D3.在排球赛中,一队员站在边线发球,发球方向与边线垂直,球开始飞行时距地面 1.9 米,当球飞行距离为 9 米时达最大高度 5.5 米,已知球场长 18 米,问这样发球是否会直接把球打出边线?思路解析:先建立坐标系,如图,根据已知条件求出抛物线的解析式,再求抛物线与 x 轴的交点坐标(横坐标为正) ,若这点的横坐标大于 18,就可判断球出线.解:以发球员站立位置为原点,球运动的水平方向为 x 轴,建立直角坐标系(如图).由于其图象的顶点为(9,5.5),设二次函数关系式为 y=a(x-9)2+5.5(a0),由已知,这个函数的图象过(0,1.9),可以得到 1.9=a(0-9)2+5.5.解得 .452a所以,所求二次函数的关系式是 y= (x-9)2+5.5.45排球落在 x 轴上,则 y=0,因此, (x-9)2+5.5=0.解方程,得 x1=9+ 20.1,x 2=9- (负值,不合题意,舍去).2533所以,排球约在 20.1 米远处落下,因为 20.118,所以,这样发球会直接把球打出边线.4.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图 26.3-9 所示,大门地面宽 AB=4 m,顶部 C 离地面高度为 4.4 m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面 2.8 m,装货宽度为 2.4 m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.图 26.3-9思路解析:建立适当的坐标系可以简化解题步骤.先建立如图 26.3-13.2的坐标系,根据已知条件求出抛物线的解析式,再求抛物线上纵坐标为 2.8 的点之间的距离,若这个距离大于汽车装货宽度,就可判断汽车能顺利通过大门.解:如图,以大门地面的中点为原点,大门地面为 x 轴,建立直角坐标系.根据对称性,设二次函数关系式为 y=a(x+2)(x-2)(a0),由已知,这个函数的图象过(0,4.4),可以得到 4.4=a(0+2)(0-2).解得 a=-1.1.所以所求二次函数的关系式是 y=-1.1x2+4.4.当 y=2.8 时,有 -1.1x2+4.4=2.8.解方程,得 x11.21, x2-1.21.因为 21.212.4,所以,汽车能顺利通过大门.5.在一场篮球赛中,队员甲跳起投篮,当球出手时离地高 2.4 米,与球圈中心的水平距离为 7 米,当球出手水平距离为 4 米时到达最大高度 4 米.设篮球运行轨迹为抛物线,球 圈距地面 3 米,问此球是否投中(假设球圈直径为 45 cm,篮球的直径为 25 cm,篮球偏离球圈中心 10 cm 以内都能投中)?思路解析:建立坐标系,用函数观点判断球圈中心点是否在抛物线上.解:以队员甲投球站立位置为原点,球运动的水平方向为 x 轴,建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线,其图象的顶点为(4,4),设二次函数关系式为 y=a(x-4)2+4(a0),由已知,这个函数的图象过(0,2.4),可以得到 2.4=a(0-4)2+4.解得 a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是 y=-0.1(x-4)2+4.当 x=7 时, y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为 3.1=3+0.1,0.1 在篮球偏离球圈中心 10 cm 以内.答:这个球能投中.综合应用6.(2010 安徽模拟) 如图 26.3-10,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a0)的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A、B 、C,则 ac 的值是_.图 26.3-10思路解析:图中,正方形和抛物线都关于 y 轴对称,欲求 ac 的值,需求抛物线的解析式,点 A、B、C 都在抛物线上,它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为 2m,则 A(0, )、B(m2, )、C( , ),把 A、B 的坐标值代入 y=ax2+c 中,m2m2得 a= , ,所以 .c22mac答案:27.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养,最多只能存活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹 1 000 千克放养在塘内,此时市场价为每千克 30 元.据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元,但放养一天需各种费用 400 元,且平均每天还有 10 千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价是每千克 20 元.(1)设 x 天后每千克活蟹的市场价为 P 元,写出 P 关于 x 的函数关系式;(2)如果放养 x 天后将活蟹一次性出售,并记 1 000 千克蟹的销售总额 Q 元,写出 Q 关于 x 的函数关系式;(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本- 费用) ?最大利润是多少?思路解析:(1)市场价每天上升 1 元,则 P=30+x;(2)销售总额为 活蟹销售和死蟹销售两部分的和,活 蟹数量每天减少10 千克,死蟹数量跟放养天数成正比;(3)根据利润计算式表达,可设利润为 w 元,用函数性质解决 .答案:(1)P=30+x.(2)Q=(30+x)(1 000-10x)+2010x=-10x2+900x+30 000.(3)设利润为 w 元,则w=(-10x2+900x+30 000)-301 000-400x=-10(x-25)2+6 250.-100,当 x=10 时,函数有最小值,最8181小值为 12.5.120)的函数关系式;(2)求出图 中表示的种植成本单价 z(元)与上市时间 t(天)(t0)的函数关系式;(3)认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价,问何时上市的绿茶纯收益单价最大?(说明:市场销售单价和种植成本单价的单位:元/500 克.)思路解析:从图形中得出相关数据,用分段函数表示市场销售单价,种植成本是一段抛物线,再分别计算各时段的纯收益单价,比较得出结论.解:(1) 当 0x120 时,y = +160;x32当 120x150 时,y=80;当 150x180 时,y= +20.x5(2)设 z=a(x-110)2+20,把 x=60,y= 代入, =a(60-110)2+20,解得 .38 301a所以 (x-110)2+20,即 (0x180).01z 81530xz(3)设纯收益单价为 w(元),则当 0x120 时,w=( x+160)-( )= (x-10)323185012x02+100, ,当 x=10 时,w 有最大值,最大值为 100(元).031当 120x150 时,w=80-( )= (x-110)2+60,31853012x0 ,当 x=110 时,w 有最大值,最大值为 60(元).0当 150x180 时,w=( x+20)-( )= (x-170)512x312+56, ,当 x=170 时,w 有最大值,最大值为 56(元).031综上所述,第 10 天上市的绿茶纯收益单价最大.回顾展望10.(2010 湖北武汉模拟) 连接着汉口集家咀的江汉三桥(晴川桥),是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥,它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江,是江城武汉 的一道靓丽景观.桥的拱肋 ACB 视为抛物线的一部分,桥面(视为水平的) 与拱肋用垂直于桥面的系杆连 接,相邻系杆之间的间距均为 5 米(不考虑系杆的粗细),拱肋的跨度 AB 为 280 米,距离拱肋的右端 70 米处的系杆 EF 的长度为 42 米.以 AB 所在直线为x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.图 26.3-12- 图 26.3-12-(1)求抛物线的解析式;(2)正中间系杆 OC 的长度是多少米?是否存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半?请说明理由.思路解析:(1)根据抛物线的对称性,设抛物线的解析式为y=ax2+c,由点 A(或点 B)和 EF 的位置坐标,列出方程组,求出解析式.(2)OC 的长由抛物线与 y 轴交点可以得到.图中系杆的横坐标都应该是 5 的整数,判断图象上纵坐标为 OC长一半的点的横坐标是否是 5 的倍数.令函数式的值为 OC 长的一半,列方程解出对应的 x 值,再进行判断.解:(1) 设抛物线的解析式为 y=ax2+cB(140,0),E(70,42), 解得 a= ,c=56.704,12c3501y= x2+56.3501(2)当 x=0 时,y= x2+56=56.O C=56(米).3501设存在一根系杆的长度是 OC 的一半,即这根系杆的长度是 28 米.则 28= x2+56,解得 .27x相邻系杆之间的间距均为 5 米,最中间系杆 OC 在 y 轴上,每根系杆上的点的横坐标均为整数. 与实际不符.270x不存在一根系杆的长度是 OC 的一半.11.(福建南平模拟) 某公司年 13 月的月利润 y(万元)与月份 x 之间的关系如图所示 26.3-13 图中的折线可近似看作是抛物线的一部分.图 26.3-13(1)根据图象提供的信息,求出过 A、B、C 三点的二次函数关系式;(2)公司开展技术革新活动,定下目标:今年 6 月份的利润仍以图中抛物线的上升趋势上升.6 月份公司预计将达到多少万元?(3)如果公司 1 月份的利润率为 13%,以后逐月增加 1 个百分点.已知6 月上旬平均每日实际销售收入为 3.6 万元,照此推算 6 月份公司的利润是否会超过(2)中所确定的目标?(成本总价=利润利润率,销售收入=成本总价 +利润)思路解析:先根据图象用待定系数法求出月利润与月份之间的函数关系式,再根据解析式计算.计算图象中 6 月份的利润,计算按 1 个百分点增长的利润,比较大小.解:设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=ax2+bx+c,依题意,得.639,424cba解得 a= ,b=- ,c=3.1y 与 x 之间的函数关系式为 y= x2- x+3.1(2)当 x=6 时,解得 y=18.预计 6 月份的利润将达到 18 万元.(3)6 月份的利润率为:13%+51%=18%.6 月份的实际销售收入为:3.630=108(万元).解法一:设 6 月份的实际利润为 x 万元,依题意,得 +x=108.18.0x解得 x16.7(万元).16.718,6 月份的利润不会达到原定目标.解法二:6 月份预计销售收入: +18=118(万元).18.0108118,6 月份的利润不会达到原定目标.
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