- 1 -G5 空间中的垂直关系【数学理卷2015 届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（201411） 】18、 （本题满分 12 分）如图，三角形 和梯形 所在的平面互相垂直， ABCEF， ， 是线段 上一点， .ABC/,2FAEG2ABC（）当 时，求证： 平面 ；G/（）求二面角 的正弦值；B（）是否存在点 满足 平面 ？并说明理由.FAEG【知识点】线面平行的判定；线面垂直的条件；二面角求法. G4 G5 G11【答案】 【解析】 （）证明：见解析；（） ；（）不存在点 满足 平面32GBF，理由：见解析.解析：（）取 中点 ，连接 ，1 分AEGABD,C又 ，所以 .GBF/2AGD因为 ，所以 ,/2CEE四边形 是平行四边形， 2 分D所以 /因为 平面 ， 平面EGABABC所以 平面 .4 分/C（）因为平面 平面 ，平面 平面 = ， EFACEF且 ，所以 平面 ，所以 ， 5 分AFABB因为 ，所 以 平面 .如图，BGEAFBCDGEAFBCD- 2 -xz yGEAFBC以 为原点，建立空间直角坐标系 .Axyz则 ，6 分(0,2)(,0)(2,)(,1)FBCE是平面 的一个法向量.,CAF设平面 的法向量 ，则E(,)xyzn，即0,.BFn20,.z令 ，则 ，所以 , 1y,zx(21)n所以 ，8 分cos,3|BCn故二面角 的正弦值为 。9 分 .EFA2（）因为 ，所以 与 不垂直,11 分(,0),10B BFAE所以不存在点 满足 平面 .12 分GEG【思路点拨】 （）取 中点 ，证明四边形 是平行四边形即可；（）以 为原ADCA点，直线 AB 为 x 轴，直线 AF 为 z 轴，建立空间直角坐标系 .通过求平面 ABF 的法向Axyz量与平面 BEF 的法向量夹角余弦值，求二面角 的正弦值；（）若存在点 满足EBFG平面 ，则 AE,由 判断不存在点 满足 平面 .BFAEGBF0AGBFAE【数学理卷2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411） 】18、 （本小题满分 12分）如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 是 的中点PABCDAB60,BADQ- 3 -（1）若 ，求证：平面 平面 ；PADPQBAD（2）若平面 平面 ，且 ，C2在线段 上是否存在点 ，使二面角 的大小为 ，CMC60若存在，试确定点 M 的位置，若不存在，请说明理由。【知识点】空间角与空间中的位置关系.G4,G5,G11【答案】 【解析】(1)略(2) 略 解析：（1）证明：PA=PD，Q 为 AD 的中点，PQAD，又底面 ABCD 为菱形，BAD=60，BQAD，又 PQBQ=Q，AD平面 PQB，又AD平面 PAD，平面 PQB平面 PAD（2）解：平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD=AD，PQAD，PQ平面 ABCD，以 Q 为坐标原点，分别以 QA，QB，QP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如图则 Q（0，0，0） ， ） ，B（0，0,3,02,3PBC设 01，则 平面 CBQ 的一个法向量MC 1M=（0，0，1） ，设平面 MBQ 的法向量为 =（x，y，z） ，n2n由 ，二面角 M-BQ-C 的大小为 60，223,0QnB解得 = ，12cos60,113PC存在点 M 为线段 PC 靠近 P 的三等分点满足题意【思路点拨】1）由已知得 PQAD，BQAD，由此能证明平面 PQB平面 PAD（2）以 Q 为坐标原点，分别以 QA，QB，QP 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点 M 为线段 PC 靠近 P 的三等分点满足题意- 4 -【数学理卷2015 届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411） 】3、已知 为不同的,mn直线， 为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）,A B /mn,mnC D ,/【知识点】空间中的平行与垂直关系.G4,G5【答案】 【解析】D 解析： 错误的原因为 n 也可能属于 ，所以 A 不正,/n确， 错误的原因为 n 也可能与 m 都在平面 内，,mn错误的原因为 可能是相交平面，所以 C 不正确，只有 D/,是正确选项.【思路点拨】由平行与垂直的判定定理与性质定理可得到正确结果.【数学理卷2015 届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（201411） 】19 （本小题满分 12 分）如图,在直三棱柱 1CBA中， D平面 1ABC，其垂足 D落在直线 1AB上（1）求证： 1（2）若 3AD， 2， P为 的中点，求二面角 的余弦值.1PC【知识点】用空间向量求平面间的 夹角；空间中直线与直线之间的位置关系G4 G5 G11【答案】 【解析】(1) 见解析； (2)72解析：(1)证明： 三棱柱 1CBA为直三棱柱，A1平面 BC，又 平面 ， - 5 -AD平面 1BC，且 平面 1ABC， . 又 平面 , D平面 A1, AD，平面 1， 又 平面 1， 5 分 BCA(2)由（1）知 ,如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系 xyzBD平面 1，其垂足 D落在直线 1A上,BAD1.在 Rt中， 3，AB=2， 3sin2ADB, 06B在直三棱柱 1C 中， A1. 在 1Rt中， tanAB0162, 则 (0,0,0), ,C（ 2，0，0）, P（1，1，0）, （0，2，2 ）,)( 1A3)0,1(BP（0，2，2 ）13)(设平面 的一个法向量P,1zyxn则 即 可得 10nBA032)3,(1n设平面 的一个法向量 则 即C1 ),(2zyxn210BCA02zyx可得 )3,0(2n12127cos,n- 6 -平面 与平面 的夹角的 余弦值是 12 分BPA1C1 72（或 在 RtABD中， 3，AB=2,的 法 向 量即 为 平 面则平 面 BCD1A,则 BD=1 可得 D( )230)23,0(D1127cosn平面 与平面 的夹 角的余弦值是 12 分）BPA1C1 7【思路点拨】(1) 由已知得 A1平面 BC， A1， BCD由此能证明 (2) 由（1）知 ,如图,以 B 为原点建立空间直角坐标系 ，利用向量法能求出二面角xyz的平面角的余弦值PABC【数学理卷2015 届四川省成都外国语学校高三 11 月月考（201411）(1)】18 （12 分）在四棱锥 ABCDP中， BC/， 09APB，点 M是线段 AB上的一点，且 M， DP42（1）证明：面 面 ； （2）求直线 CM与平面 PD所成角的正弦值【知识点】面面垂直的判定；线面角的求法. G5 G11【答案】 【解析】(1)略(2)75136解析：（1）由 BMPA42，得 AB，又因为 P，且 AB，所以 M面 CD， 4 分且 面 所以，面 P面 。 6 分- 7 -（2）过点 M作 CDH，连结 P，因为 P，且 ，所以 CD平面 ，又由 平面 ，所以平面 平面 P，平面 平面 HCD，过点 M作 PHN，即有 N平面 ，所以 N为直线 M与平面 所成角 9 分在四棱锥 AB中，设 t2，则 172t， tP23， t1057，tPH54， M1637从而 5sinNC，即直线 C与平面 D所成角的正弦值为 75136【思路点拨】 （1）要证面面垂直，只需证其中一个平面内的直线垂直于另一平面，对于本题，只需证明 PMAB，可由ABPPBM 证明 PMAB；（2）过点 作 ，连结 ，MCHP证明平面 平面 ，过点 作 ，则 为直线 与平面PHDPNN所成角在四棱锥 中，设 ，则 ， ，DABt172tt23， ， ，从而 .tM1057t54M163751sin6【数学文卷2015 届江西省师大附中高三上学期期中考试（201411） 】19. （本小题 12 分）如图 1，在直角梯形 ABCD中， /， ADB，且 12CD现以AD为一边向梯形外作正方形 EF，然后沿边 将正方形 EF翻折，使平面EF与平面 垂直， M为 的中点，如图 2（1）求证： 平面 ;（2）求证： BDC平 面;（3）求点 到平面 E的距离.M- 8 -【知识点】线面平行 线面垂直 点到平面的距离 G4 G5 G11【答案】 【解析】 （1）略；（2）略；（3） 36 解析：（1）证明：取 EC中点 N，连结BNM, 在 EDC中， ,分别为 ,ECD的中点， 所以 ，且 2 由已知 AB C， 2D，所以 A，且 B 所以四边形 NM为平行四边形所以 B 又因为 N平面 ，且 平面 E，所以 A平面 E （2）在正方形 DF中， E又因为平面 F平面 BC，且平面平面 C，所以 D平面 AB 所以 在直角梯形 中， 1A， 2C，可得 2在 B中， ,2，所以 D所以 所以平面 （3）： E平面 ,所以 BE，所以 ,1221CSBC.26321CSBC又 EDV，设点 到平面 BE的距离为.h则 31DhSBE，所以 3621BCS，所以点 D到平面BE的距离等于 6.【思路点拨】证明线面平行及线面垂直主要利用其判定定理进行证明，求点到平面的距离，若直接求距离不方便时，可利用三棱锥的等体积法求距离.【数学文卷2015 届江西省师大附中高三上学期期中考试（201411） 】6已知两条不重合的直线 和两个不重合的平面 有下列命题：,mn,若 ，则 ； 若 则,/n,/mn/;若 是两条异面直线， 则,/n;若 则 . 其中正确命题的个数是（ ）,mA1 B2 C3 D4- 9 -【知识点】空间平行与垂直关系 G4 G5【答案】 【解析】C 解析：若 ，则直线 n 与平面 平行或在平面 内，所以,mn错误；若 ，则 n,垂直于同一直线的两面平行，所以 ，则,/n /正确；若 是两条异面直线，过直线 m 上任意一点作直线 kn，则 m,k 确定一个平面，若 ，则 ，所以 ，则正确；由两面,/,/m垂直的判定定理可知正确，综上可知选 C【思路点拨】判断线线、线面、面面位置关系问题，熟悉它们的判定定理与性质定理是解题的关