1.3.1 函数的单调性与导数,新课讲授,在（ ，0）和（0, ）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。,在（ ，1）上是减函数，在（1, ）上是增函数。,在( ,)上是增函数,根据图像指出每个函数的单调区间,函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是增函数；,2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，,则 f ( x ) 在G 上是减函数；,若 f(x) 在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x) 在G上有单调性。,G 称为单调区间,G = ( a , b ),(1)函数的单调性也叫函数的增减性；,(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。,(3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。,以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；,2) 如果恒有 f(x)0,f (x)0,解得x2x(2,)时， 是增函数令2x40,解得x2x(-,2)时， 是减函数,24页例1，例2,解:函数的定义域是(-1,+),例3.f(x)=x/2-ln(1+x)+1,由 即 得x1.,又函数的定义域是(-1,+),故f(x)的递增区间是(1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交集.,利用导数讨论函数单调的步骤:,(2)求导数,(1)求 的定义域D,练习：确定函数 ，在哪个区间是增函数，那个区间是减函数。,单调递增区间为: (2,) 、 (，0) 单调递减区间为: (0,2),例4:确定函数f(x)=x/2+sinx; 的单调区间:,练习:判断下列函数的单调性,(1)f(x)=sinx-x,x(0,);(2)f(x)=ex-x；,25页，26页,原函数看增减，导函数看正负,例5:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范 围,并求其单调区间.,D,f(x)在（a,b)内可导， f(x)在（a,b)上递增（或递减）的充要条件是f(x) 0(f(x) 0),x （a,b)恒成立，且 f(x)在（a,b)的任意子区间内都不恒等于0.,优化设计14页例3练习1,作业布置：,