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第十五章,选考内容,相似三角形的判定与性质,第77讲,平行线分线段成比例定理,【解析】因为四边形ABCD为平行四边形,所以FDBC,BEDQ, 所以 , 因为 , 所以 ,即 ,即 .又因为DE=BF, 所以 , 所以 .,点评,由于条件中有平行线,故考虑平行线分线段成比例定理及其推论,利用相等线段和等比性质,证明线段成比例.,相似三角形的判定与性质,【解析】(1)证明:因为DEBC,D是BC的中点,所以EB=EC,所以ABC=ECB. 又因为AD=AC,所以ADC=ACB.所以ABCFCD. (2)过点A作AMBC, 垂足为点M. 因为ABCFCD, BC=2CD,所以 .,又因为SFCD =5,所以SABC =20.因为SABC = BC AM , BC=10,所以 20= 10 AM , 所以 AM=4.又因为DEAM,所以 .因为 ,所以 , 所以 .,点评,本题主要考查了三角形相似的判定与性质,解题的关键是找准满足定理的条件.第(1)问是利用“有两角对应相等的两个三角形相似”,找出两角对应相等;第(2)问是首先利用相似三角形的性质,再根据等腰三角形的性质及中点求出DE的长度.,【变式练习2】如图,AE、AF分别为ABC的内、外角平分线,O为EF的中点. 求证:OBOC=AB2AC2.,【解析】因为AE、AF分别为ABC的内、外角平分线,所以AEAF. 又因为O为EF的中点, 所以OEA=OAE. 因为OAE=CAE+OAC,OEA=ABE+BAE, 而BAE=CAE,所以OAC=ABE. 因为AOB为公共角, 所以OACOBA. 所以SOBASOAC =AB2AC2. 又因为OAB与OCA有一条公共边OA, 所以SOBASOAC =OBOC, 所以OBOC=AB2AC2.,相似三角形的应用,【例3】小明欲测量一座古塔的高度,他站在影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m已知小明的身高是1.6 m,他的影子长度是2 m.,点评,实际生活中有很多类似的测量题,解题的关键是将实际问题转化为数学模型,利用相似三角形知识求解后再回到实际问题中,直角三角形射影定理的应用,【解析】由直角三角形射影定理,知 AC2=AD AB,BC2=BD AB, AD2=AE AC,BD2=BFBC, 所以 . 所以 , 所以 .,点评,题目符合直角三角形射影定理的条件,选择合适的直角三角形是解决问题的关键.,【变式练习4】如图,已知BD、CE是ABC的两条高,过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H,交CE于F,且H=BCF.求证:GD2=GF GH.,【变式练习4】因为CEAB,所以H+HFE=90. 又因为BCF=H, HFE=CFG,所以BCF+CFG=90.所以FGGC,所以BGHFGC.所以 , 即BG GC=GF GH. 又因为DG2=BG GC(直角三角形射影定理),所以DG2=GF GH.,1. ABC中,AD是角平分线,AB=5,AC=4,BC=7,求BD的长度.,2.如图,E是 ABCD的边BC的中点,若BD=9,求BF的长度.,【解析】因为BEAD, 所以 . 设BF=x, 则 FD=9-x, , 所以 ,解得 x=3. 所以 BF 的长度为3.,5.如图,在ABC中,AB=AC, BDAC,点D是垂足. 求证: BC2=2CD AC.,【解析】过点A作AEBC,垂足为E, 则CE=BE= BC. 由BDAC,AEBC, 得AEC=BDC=90. 又因为C=C, 所以AECBDC, 所以 ,所以 , 即BC2=2CD AC.,2.相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、对应角的平分线,以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来.利用相似三角形的性质可得到线段的比例、线段的平方比或角相等,有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长.,3.运用直角三角形射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图形去记忆定理.当所给条件具备定理的条件时,可直接运用定理,有时也可通过作垂线使之满足定理的条件,再运用定理.在处理一些综合问题时,常常与三角形的相似相联系,要注意它们的综合运用.,1 .(2011徐州期中卷) 已知RtABC中,CD为斜边AB上的高,CE平分BCD,交AB于点E. 求证:AE2=AD AB.,【解析】因为ABC为直角三角形,且CDAB, 所以AC2=AD AB,B=ACD. 因为CE为BCD的平分线,所以DCE=ECB. 因为ACE=ACD+DCE,AEC=B+ECB, 所以ACE=AEC. 所以AC=AE. 所以 AE2=AD AB.,选题感悟:本题以常见的平面图形直角三角为载体,重点考查直角三角形射影定理及角平分线的性质的运用,同时突出考查了逻辑推理与论证的能力,是一道“小巧灵活”的试题.,2.(2011南通期中卷) 如图,已知AD、BE分别是ABC的BC边和AC边上的高,H是AD与BE的交点.求证: (1)AD BC=BE AC; (2)AH HD=BH HE.,【解析】(1)在RtADC和RtBEC中,C为公共角. 所以RtADCRtBEC, 所以 , 所以AD BC=BE AC. (2)在RtBHD和RtAHE中, 因为BHD=AHE,所以RtBHDRtAHE, 所以 , 所以AH HD=BH HE.,选题感悟:本题主要考查等积线段的证明及相似三角形的运用.高考对相似三角形的要求是对一些常用的定理,能熟练掌握并加以运用,同时要加强对图形的观察、探索和发现能力,证明和求解过程的表述要规范.,
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