广元市高 2014 级第三次高考适应性统考数学试卷(理工类)第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 , ,若 ,则实数 的取值范围是( )042xAaxBBAaA （0,4 B. C D)()442. 欧拉公式 ( 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义xieixsncoi域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, 表示的复数的模为( )ie3A B1 C D22333. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A100 B82 C. 96 D1124. 已知函数 ( , , 为常数, , , )的部分图像)sin)(xAxf 0A如图所示,则下列结论正确的是( )A函数 的最小正周期为)(xf2B直线 是函数 图象的一条对称轴12)(xfC.函数 在区间 上单调递增)(xf6,5D. 将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 的图象,则3)(xgxg2sin)(5. 对于四面体 ,有以下命题:若 ,则 , , 与底面所BCDAADCBBCA成的角相等；若 , ,则点 在底面 内的射影是 的内心； D四面体 的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体 的 6 条棱长都为 1,则它的内切球的表面积为 .其中正确的命题是( )6A B C. D6. 中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理” ，若正整数 除N以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 现将该问题以程mn)(modnN)3(mod21序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的 等于( )A21 B22 C.23 D24 7. 若数列 是正项数列，且 ，则 等于na.21ann2na.21( )A B C. D2n22 )(28. 某城市关系要好的 ， ， ， 四个家庭各有两个小孩共 8 人，分乘甲、乙两辆汽ACD车出去游玩，每车限坐 4 名（乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置） ，其中 户家庭的孪生A姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A18 种 B24 种 C. 36 种 D48 种9. 命题 ：已知数列 为等比数列，且满足 ，则pna dxa24265；命题 ：“ ， ”的否定是“ ，2logl54axx qRx1sinR”.则下列四个命题： 、 、 、 中，正确命题的个1sinpqpq数为( )A4 B3 C.2 D110.已知定义在 上的偶函数 ，满足 ，且 时，R)(xf )(4(xff2,0，则方程 在区间0，10上根的个数是（ )xfsin2i)(0lgA 20 B19 C.18 D1711. 抛物线 的焦点为 ，其准线经过双曲线 的)0(2pxyF)0,(12bayx左焦点，点 为这两条曲线的一个交点，且 ，则双曲线的离心率为( )MpMA B C. D22211212. 已知函数 ，射线 ： .若射线 恒在函数3ln)(xxf l)(xkyl图象的下方，则整数 的最大值为( )(fykA4 B5 C. 6 D7第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中 的系数为 （用数字作答）6)12(xx14.若实数 ， 满足不等式组 则 的最小值为 y,031,yxxy15.在-2,2上随机抽取两个实数 ， ，则事件“直线 与圆ab1y相交”发生的概率为 2)()(2byax16.在平面内，定点 ， ， ， 满足 ，ABCDBA2DCACDB，动点 ， 满足 ， ，则 的最大值为 0DCPM1MP三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，且 .ABCabcABCbcac23)(2（）若 ，求 的大小；os2sintan（）若 ， 的面积 且 ，求 ， .a2Scb18. 质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取 100 桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：（）写出频率分布直方图（甲）中 的值；记甲、乙两种食用油 100 桶样本的质量指标a的方差分别为 ， ，试比较 ， 的大小（只要求写出答案）；21S21S（）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 捅，恰有一桶的质量指标大于 20；（）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值 服从正态分Z布 其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ，设 表示从乙种食),(2Nx22SX用油中随机抽取 10 桶，其质量指标值位于（14.55，38.45）的桶数，求 的数学期望注：同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得 9.175.42若 ，则 ，Z),(2N68.0)(ZP954.02(P19. 如图，四边形 是梯形.四边形 是矩形.且平面 平面 ，ABCDCEFABCDEF， ， ， 是线段 上的动点.90B/ 21M（）试确定点 的位置，使 平面 ，并说明理由；M/ACDMF（）在（）的条件下，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.BC20. 已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且点 ，ABCabc)01(，A，动点 满足 （ 为常数且 ） ，动点 的轨迹为曲线 .）（ 0,1cba1E（）试求曲线 的方程；E（）当 时，过定点 的直线与曲线 交于 ， 两点， 是曲线 上不3）（ 0,1BEPQN同于 ， 的动点，试求 面积的最大值.PQNPQ21. 已知函数 ， ，其中 是自然常数.xexfcosin)(xeg2cos)(（）判断函数 在 内零点的个数，并说明理由；y)2,0(（） ， ，使得不等式 成立，试求实数 的2,01xx mxgf)(21取值范围；（）若 ，求证： .0)(gf请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 ： （ 是参数） 在以 为极点，xOy1Csin,co2yxO轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ： 点 是曲线 上的动点.x 203P1C（）求点 到曲线 的距离的最大值；P2（）若曲线 ： 交曲线 于 ， 两点，求 的面积.3C41CAB1A23.选修 4-5：不等式选讲已知 ，其中 .axf)(（）当 时，求不等式 的解集；24)(xf（）已知关于 的不等式 的解集为 ，求 的值.x2)(2fa21xa数学答案（理）一、选择题1-5: CBABD 6-10:CABCB 11、12：DB二、填空题13.-80 14.3 15. 16. 1649三、解答题17.解：（） ， ，bcacb23)(23122ca ， ，31cosAsin ， ，CB2inCAcos2)i( ，cssin31co ，Ci2 ；tan（） 的面积 ， ， AB2S2sin1Abc3bc ，由余弦定理可得 ，2a 342 5cb ，联立可得 ， .23bc18. 解：（） ， .015.aS（）设事件 ：在甲种食用油中随机抽取 1 桶，其质量指标不大于 20，A事件 ：在乙种食用油中随机抽取 1 桶，其质量指标不大于 20，B事件 ：在甲、乙两种食用油中随机抽取 1 桶，恰有一个桶的质量指标不大于 20，且另一C个不大于 20，则 ， ，3.01.20)(AP 3.02.10)(BP ，)(C4.A（）计算得： ，由条件得 ，5.6x )75.,6(NZ从而 ，82.0)95.1291.2( P从乙种食用油中随机抽取 10 桶，其质量指标值位于（14.55,38.45）的概率是 0.6826，根据题意得 ，)68.0,(BX .2.10E19. 解：（）当 是 线段的中点时， 平面 ，MAE/ACDMF证明如下：连接 ，交 于 ，连接 ，CEDFNM由于 、 分别是 、 的中点，所以 ，MACEACN/由于 平面 ，又 不包含于平面 ，DF 平面 ./A（）方法一：过点 作平面 与平面 的交线 ，DBl 平面 ， ，/ACDMF/ACl过点 作 于 ，G平面 平面 ， ，BED 平面 ，平面 平面 ，EABC 平面 ，ACD过 作 于 ，连接 ，则直线 平面 ， ，GlHlMHlGHMl设 ，则 ， ，2AB1DDGsin521sinAC，则 ，1EM531)2( ，53cosHG所求二面角的余弦值为 .2方法二：平面 平面 ， ，ABCDEFCD 平面 ，可知 、 、 两两垂直，EAE分别以 、 、 的方向为 ， ， 轴，xyz建立空间直角坐标系 .yzO设 ，则 ， ， ， ，2AB)10(，M)24(，F)10(，DM)240(，F设平面 的法向量 ，D,zyxn则 ， ，01Fn024令 ，得平面 的一个法向量 ，yM)2,1(n取平面 的法向量 ，ABCD),(m由 ，3214,cosn平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .MF3220. 解：（）在 中，因为 ，所以 （定值） ，且 ，ABC22CBA2所以动点 的轨迹 为椭圆（除去 、 与共线的两个点）.PB设其标准方程为 ，所以 ，)0(12bayx 122ba所以求曲线的轨迹方程为 （ ） ，2x（）当 时，椭圆方程为 .3)3(13y过定点 的直线与 轴重合时， 面积无最大值，BxNPQ过定点 的直线不与 轴重合时,设 方程为： ， 、 ，l1my)(1y),(2x若 ，因为 ，故此时 面积无最大值.03xNP根据椭圆的几何性质，不妨设 ，0联立方程组 消去 整理得： ，123yxx04)23(my所以 则 .22134my 21yPQ23)1(因为当直线 与平行且与椭圆相切时，切点 到直线 的距离最大，l Nl设切线 ： ，)(nyx