第六章 二叉树和树,数据结构中的一种，属于非线性结构。,一、教学内容：1、二叉树的定义、性质及运算；2、二叉树的存储结构（顺序、链式表示）3、二叉树遍历；4、树和森林的概念（树的定义、树的术语、性质及运算）；5、树的存储结构；树、森林与二叉树的转换；遍历树；遍历森林6、哈夫曼树、哈夫曼编码。二、教学要求：1、熟练掌握二叉树的结构特性，熟悉二叉树的各种存储结构的特点及适用范围；2 、熟练掌握二叉树的遍历方法及遍历算法；3 、了解树和森林的概念。包括树的定义、树的术语和性质；4、熟悉树的各种存储结构及其特点，掌握树、森林与二叉树的转换方法5、掌握建立哈夫曼树和哈夫曼编码的方法及带权路径长度的计算。,6.1 二叉树定义定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为根的左子树和右子树的互不相交的二叉树构成特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒基本形态,基本术语结点和根结点表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支结点的度结点拥有的子树数叶子结点（终端结点）度为0的结点非叶结点（非终端结点）度不为0的结点孩子结点拥有的子树的根称为该结点的孩子,分支：结点拥有的子树称为其分支。双亲(parents)孩子结点的上层结点叫该结点的双亲兄弟(sibling)同一双亲的孩子祖先和子孙结点：二叉树的度一棵二叉树中最大的结点度数结点的层次(level)从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层深度(depth)树中结点的最大层次数,二叉树性质性质1：二叉树的第i层上最多拥有2 i-1个结点。,证明：用归纳法证明之 i=1时，只有一个根结点， 是对的 假设对所有j(1j1，则其双亲是i/2 (2) 如果2in，则结点i无左孩子；如果2in， 则其左孩子是2i (3) 如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1,性质4,二叉树的存储结构顺序存储结构实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素特点：结点间关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树,链式存储结构二叉链表,Struct bitreenode datatype data; struct bitreenode *lchild, *rchild;,在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域,三叉链表,typedef struct node datatype data; struct node *lchild, *rchild, *parent;JD;,二叉树的遍历方法先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点,D L R,先序遍历序列：A B D C,先序遍历:,L D R,中序遍历序列：B D A C,中序遍历:,L R D,后序遍历序列： D B C A,后序遍历:,void preorder(JD *bt) if(bt!=NULL) printf(%dt,bt-data); preorder(bt-lchild); preorder(bt-rchild); ,返回,返回,返回,返回,A,C,B,D,返回,先序序列：A B D C,非递归算法,i,访问：C B E G D F A,p=NULL,(15),遍历算法应用按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表，已知先序序列为： A B C D E G F ,求二叉树深度算法,统计二叉树中叶子结点个数算法,6.2 树的定义定义定义：树(tree)是n(n0)个结点的有限集T，其中：有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)特点：树中至少有一个结点根树中各子树是互不相交的集合,结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0,叶子：K，L，F，G，M，I，J,结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F,结点I的双亲：D结点L的双亲：E,结点B，C，D为兄弟结点K，L为兄弟,树的度：3,结点A的层次：1结点M的层次：4,树的深度：4,结点F，G为堂兄弟结点A是结点F，G的祖先,根,子树,树的存储结构双亲表示法实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域：数据域：存放结点本身信息双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置特点：找双亲容易，找孩子难,typedef struct node datatype data; int parent;JD; JD tM;,0,1,2,2,3,5,5,5,1,0号单元不用或存结点个数,如何找孩子结点,孩子表示法多重链表：每个结点有多个指针域，分别指向其子树的根结点同构：结点的指针个数相等，为树的度D结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度d,孩子链表：每个结点的孩子结点用单链表存储，再用含n个元素的结构数组指向每个孩子链表,孩子结点：typedef struct node int child; /该结点在表头数组中下标struct node *next; /指向下一孩子结点 JD;表头结点：typedef struct tnode datatype data; /数据域struct node *fc; /指向第一个孩子结点TD; TD tM; /t0不用,如何找双亲结点,带双亲的孩子链表,孩子兄弟表示法（二叉树表示法）实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟结点特点： 操作容易 但破坏了树的层次,树与二叉树转换,将树转换成二叉树加线：在兄弟之间加一连线抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45,树转换成的二叉树其右子树一定为空,将二叉树转换成树加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线调整：将结点按层次排列，形成树结构,森林转换成二叉树将各棵树分别转换成二叉树将每棵树的根结点用线相连以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构,二叉树转换成森林抹线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，及沿右分支搜索到的所有右孩子间连线全部抹掉，使之变成孤立的二叉树还原：将孤立的二叉树还原成树,树的遍历遍历按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列常用方法先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，第n层的结点,先序遍历：,后序遍历：,层次遍历：,A,B,E,F,I,G,C,D,H,J,K,L,N,O,M,E,I,F,G,B,C,J,K,N,O,L,M,H,D,A,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,6.3 二叉树的应用1 霍夫曼树 路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的路径长度：路径上的分支数树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和带权结点的路径长度:权值*该接点到根的路径长度树的带权路径长度：树中所有带权结点的路径长度之和,Huffman树设有n个权值w1,w2,wn，构造一棵有n个叶子结点的二叉树，每个叶子的权值为wi,则wpl最小的二叉树叫Huffman树.,例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树,WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36,WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46,WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35,构造Huffman树的方法Huffman算法构造Huffman树步骤根据给定的n个权值w1,w2,wn，构造n棵只有根结点的二叉树，令其权值为wj在森林中选取两棵根结点权值最小的树作左右子树，构造一棵新的二叉树，置新二叉树根结点权值为其左右子树根结点权值之和在森林中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入森林中重复上述两步，直到只含一棵树为止，这棵树即哈夫曼树,例 w=5, 29, 7, 8, 14, 23, 3, 11,Huffman算法实现,一棵有n个叶子结点的Huffman树有2n-1个结点采用顺序存储结构一维结构数组结点类型定义,