第 3讲 圆的方程 第八章 平面解析几何 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 1圆的定义及方程 定义 平面内与 _的 距离等于 _的点的集合 (轨迹 ) 标准方程 _ (r 0) 圆心 ： _， 半径： _ 一般方程 _ (4F 0) 圆心： _， 半径： 定点 定长 (x a)2 (y b)2 a， b) r F 0 ( 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 点 M(圆 (x a)2 (y b)2 (1)若 M(圆外 ， 则 _ (2)若 M(圆上 ， 则 _ (3)若 M(圆内 ， 则 _ (a)2 (b)2 a)2 (b)2 a)2 (b)2 目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 做一做 1 圆心在 半径为 1， 且过点 (1， 2)的圆的方程为( ) A (y 2)2 1 B (y 2)2 1 C (x 1)2 (y 3)2 1 D (y 3)2 1 A 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 2 点 (1， 1)在圆 (x a)2 (y a)2 4内 ， 则实数 ) A ( 1， 1) B (0， 1) C ( ， 1) (1， ) D (1， ) 解析： 点 (1， 1)在圆的内部， (1 a)2 (1 a)21 C m 1 B 解析： 由 (4 m ) 2 4 4 5 m 0 ， 得 m 1. 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 4 圆心在 3， 1)的圆与 则该圆的方程是 ( ) A 10y 0 B 10y 0 C 10x 0 D 10x 0 解析：设圆心为 (0， b)， 半径为 r， 则 r |b|， 圆的方程为 (y b)2 点 (3， 1)在圆上 ， 9 (1 b)2 解得： b 5. 圆的方程为 10y 0. B 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 考点一 求圆的方程 考点二 与圆有关的最值问题 (高频考点 ) 考点三 与圆有关的轨迹问题 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 考点一 求圆的方程 根据下列条件 ， 求圆的方程： (1)经过 P( 2， 4)、 Q(3， 1)两点 ， 并且在 ； (2)圆心在直线 y 4与直线 l： x y 1 0相切于点P(3， 2) 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 解 ( 1) 设圆的方程为 F 0 ， 将 P 、 Q 点的坐标分别代入得 2 D 4 E F 20 ，3 D E F 10 .又令 y 0 ， 得 F 0. 设 的两根 ， 由 | 6 ， 有 4 F 36 ， 由 解得 D 2 ， E 4 ， F 8 或 D 6 ， E 8 ， F 0. 故所求圆的方程为 2 x 4 y 8 0 或 6 x 8 y 0. 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 ( 2) 设所求方程为 ( x ( y 根据已知条件得 4 3 （ 2 1|2 r ，解得1 ， 4 ，r 2 2 x 1)2 ( y 4)2 8. 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 规律方法 求圆的方程 ， 主要有两种方法： (1)几何法 :具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理 如： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上 ; 圆心在任意弦的中垂线上 ; 两圆相切时 ,切点与两圆心三点共线 (2)代数法：根据条件设出圆的方程 ， 再由题目给出的条件 ，列出等式 ， 求出相关量 一般地 ， 与圆心和半径有关 ， 选择标准式 ， 否则 ， 选择一般式 不论是哪种形式 ， 都要确定三个独立参数 ， 所以应该有三个独立等式 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 1.(1)已知圆心为 (0， 6)， B(1， 5)， 且圆心在直线 l： x y 1 0上 ， 求圆的标准方程； (2)若不同的四点 A(5， 0)、 B( 1， 0)、 C( 3， 3)、 D(a， 3)共圆 ， 求 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 解： ( 1) 法一：设圆的方程为 F 0( 2 4 F 0) ， 则圆心坐标为 由题意可得（ 6 ）2 6 E F 012（ 5 ）2 D 5 E F 0 ，D E 2 0消去 F 得 D E 10 0D E 2 0， 解得 D 6E 4， 代入求得 F 12 ， 所以圆的方程为 6 x 4 y 12 0 ， 标准方程为 ( x 3)2 ( y 2)2 25 . 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 法二： 因为 A (0 ， 6) ， B (1 ， 5) ， 所以线段 中点 D 的坐标为12， 112， 直线 斜率 5 （ 6 ）1 0 1 ， 因此线段 垂直平分线 l 的方程是 y 112x 12， 即 x y 5 0. 圆心 C 的坐标是方程组 x y 5 0x y 1 0的解 ， 解得 x 3y 2， 所以圆心 C 的坐标是 ( 3 ， 2) 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 圆的半径长 r | （ 0 3 ）2（ 6 2 ）2 5 ， 所以 ， 圆心为 C 的圆的标准方程是 ( x 3)2 ( y 2)2 2 5. ( 2) 设过 A 、 B 、 C 三点的圆的方程为 F 0 ， 分别代入 A 、 B 、 C 三点坐标 ， 得 25 5 D F 0 ，1 D F 0 ，9 9 3 D 3 E F 0 ，栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 解得D 4 ，E 253，F 5. A 、 B 、 C 三点确定的圆的方程为 4 x 253y 5 0. D ( a ， 3 ) 也在此圆上 ， 9 4 a 25 5 0. a 7 或 a 3( 舍去 ) 即 a 的值为 7. 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 与圆有关 的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题 高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度： ( 1) 求一次或二次式的最值； ( 2) 求圆上的点与圆外点距离的最值； ( 3) 求圆上的点到直线距离的最值； ( 4) 求 z y 考点二 与圆有关的最值问题 (高频考点 ) 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 已知实数 x ， y 满足方程 4 x 1 0. ( 1) 求 ( 2) 求 y x 的最大值和最小值； ( 3) 求 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 解 原方程可化为 ( x 2)2 3 ， 表示以 (2 ， 0 ) 为圆心 ，3 为半径的圆 ( 1) 所以设k ， 即 y 当直线 y 圆相切时 ， 斜率 k 取最大值或最小值 ， 此时|2