第 6讲 双曲线 第八章 平面解析几何 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 1 双曲线的 概念 平面内动点 P 与两个定点 2 c 0) 的距离之差的绝对值为常数 2 a (0 2 a 2 c ) ， 则点 P 的轨迹叫_ _ _ 这两个定点叫双曲线的 _ _ _ _ ， 两焦点间的距离叫 _ _ _ 集合 P M | | 2 a ， | 2 c ， 其中 a 、 a 0 ， c 0 ： ( 1) 当 _ _ _ 时 ， P 点的轨迹是双曲线； ( 2) 当 a c 时， P 点的轨迹是 _ _ _ _ ； ( 3) 当 _ _ _ _ 时 ， P 点不存在 双曲线 焦点 焦距 a c 两条射线 a c 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 2双曲线的标准方程和几何性质 y 2a 2x 2b 2 1 ( a 0 ， b 0) 标准方程 图形 x 2a 2y 2b 2 1 (a 0 ， b 0) 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 标准方程 性质 范围 x a或 x a， y R x R， y a或 y a 对称性 对称轴： _， 对称中心： _ 顶点 a， 0)， A2(a， 0) ， a)， ， a) 渐近线 y y 2a 2x 2b 2 1 ( a 0 ， b 0) x 2a 2y 2b 2 1 (a 0 ， b 0) 坐标轴 原点 y 目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 标准方程 性质 离心率 e _， e (1， ) 实虚轴 线段 的长 |2a；线段 的长| 2b； a、 b、 _(c a 0， c b 0) ca y 2a 2x 2b 2 1 ( a 0 ， b 0) x 2a 2y 2b 2 1 (a 0 ， b 0) 目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 做一做 1 ( 2014 高考课标全国卷 ) 已知双曲线1( a 0) 的离心率为 2 ， 则 a ( ) A 2 1 D 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 2 已知中心在原 点的双曲线 C 的右焦点为 F (3 ， 0 ) ， 离心率等于32， 则 C 的方程是 ( ) 1 1 1 1 B 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 1 辨明 三个易误点 ( 1) 双曲线的定义中易忽视 2 a | 这一条件若 2 a | 则轨迹是以 若 2 a | 则轨迹不存在 ( 2) 区分双曲线中 a ， b ， c 的关系与椭圆中 a ， b ， c 的关系 ，在椭圆中 而在双曲线中 ( 3) 双曲线的离心率 e (1 ， ) ,而椭圆的离心率 e ( 0 ， 1 ) 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 2 求双 曲线标准方程的两种方法 ( 1) 定义法 根据题目的条件 ， 判断是否满足双曲线的定义 ， 若满足 ，求出相应的 a ， b ， c ， 即可求得方程 ( 2) 待定系数法 与双曲线 1 共渐近线的可设为 ( 0) ； 若渐近线方程为 y 则可设为 ( 0) ； 若过两个已知点 ， 则可设为1( 0) 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 3 双曲线 几何性质的关注点 双曲线的几何性质可从以下三点关注： ( 1) “ 六点 ” ：两焦点、两顶点、两虚轴端点； ( 2) “ 四线 ” ：两对称轴 ( 实、虚轴 ) 、两渐近线； ( 3) “ 两形 ” ：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形；双曲线上的一点 ( 不包括顶点 ) 与两焦点构成的三角形 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 做一做 3 “ k 9 ” 是 “ 方程 k 4 1 表示双曲线 ” 的 ( ) A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件 B 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 解析：当 k 9 时 ， 9 k 0 ， k 4 0 ， 方程表示双曲线当k 4 时 ， 9 k 0 ， k 4 0 ， 方程也表示双曲线 “ k 9 ” 是 “ 方程 k 4 1 表示双曲线 ” 的充分不必要条件 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 4 ( 201 4 高考北京卷 ) 设双曲 线 C 经过点 (2 ， 2 ) ， 且与1 具有相同渐近线 ， 则 C 的方程为 _ _ _ _ _ _ ；渐近线方程为 _ _ _ _ _ 解析：设双曲线 C 的方程 为 ， 将点 (2 ， 2 ) 代入上式 ， 得 3 ， C 的方程为1 ， 其渐近线方程为y 2 x . x 23 y 212 1 y 2 x 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 考点一 双曲线的定义 考点二 求双曲线的标准方程 考点三 双曲线的几何性质 (高频考点 ) 考点四 与双曲线有关的综合问题 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 考点一 双曲线的定义 ( 1) ( 2014 高考大纲全国卷 ) 已 知双曲线 C 的离心率为 2 ， 焦点为 点 A 在 C 上若 | 2| ， 则 ( ) 2) P 是双曲线 1( a 0 ， b 0) 右支上一点 ， F 1 ， F 2分别为左、右焦点 ， 且焦距为 2 c ， 则 的横坐标是 ( ) A a B b C c D a b c A A 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 解析 ( 1) 由 e 2 ， 得 c 2 a ， 如图 ， 由双曲线的定 义得 | | 2 a ， 又 | 2| ， 故 | 4 a ， | 2 a ， c 4 a ）2（ 2 a ）2（ 4 a ）22 4 a 2 a14. 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 ( 2) 如图 ， 内切圆圆心 M 到各边的距离分别为 切点分别为 A ， B ， C ， 由三角形的内切圆的性质则有： | | | | | | ， | | | | | | 2 a ， 又 | | 2 c ， | a c ， 则 | | | a . M 的横坐标和 A 的横坐标相同 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 本例 ( 1) 中双曲线方程变为 x 2 y 23 1 ， 若点 A 在C 上 ， | F 1 A | 2| F 2 A |不变 ， 求 c F 1 的值 解：如图 ， 由双曲线的定义得 | | 2 ， 又 | 2| ， 故 | 4 ， | 2 ， c 2 22 422 4 214. 栏目导引 教材回顾 夯实基础 典例剖析 考点突破 名师讲坛 素养提升 知能训练 轻松闯关 第八章 平面解析几何 规律方法 ( 1) 在应用双曲线定义时 ， 要注 意定义中的条件 ，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支 若是双曲线的一支 ， 则需确定是哪一支 ( 2) 在 “ 焦点三角形 ” 中 ， 正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点另外 ， 还经常结合 | | 2 a