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类讨论型综台题 在中考中的命题特点(上) 始湖北省襄樊市第19中学韩春见 如果一个命题的题设和结论有多种可能性,难以统一 解答,就需要按可能出现的各种情况分别加以讨论,一一作 解,得出各种情况的相应结论,最后综合归纳出问题的正确 答案这种解题方法叫做分类讨论法 分类讨论作为一种重要的解题方法,与其相关的试题 是中考命题的热点由于要用分类讨论法解答的数学题目, 往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性,既能全面考查学 生的数学能力,又能考查学生的思维能力,几乎在全国各地 的中考试卷中都会有这类试题,命题者经常利用分类讨论 题来加大试卷的区分度,很多压轴题也都涉及分类讨论 分类讨论实质是将整体问题化为若干个部分来解决, 化成部分后增加了题设的条件,从而将问题解答等进行到 底常采用“化整为零,逐个击破,再积零为整”的数学策 略本文通过对典型中考题的归纳分析,总结出中考中需 要分类讨论的几种情况及解题对策 一、与数学概念、定义有关的分类讨论题 例1:(2009年安徽省)已知二次函数的图像经过原点 及点(一 ,),且图像与 轴的另一交点到原点的距离 Z f 为1,则该二次函数的解析式为 分析:所谓图像与 轴的另一交点到原点的距离为1, 实质是二次函数图像与 轴的另一交点坐标为(一1,0)或 (1,0)故分两种情况来求该二次函数的解析式 解:设该二次函数为y=ax2+bx+c 图像与 轴的另一交点到原点的距离为1, 该二次函数图像与 轴的另一交点坐标为(一1,0) 或(1,0) (1)当该二次函数图像与 轴的另一交点坐标为 (-1,0)时, 把x=O时y=O, 一1时y=O, 一 1时y= 代入y= 二 叶 ( +6 +c得。 _ 11 1 1 Lc=o0一 J0- c=0, 解得I6:, I_4 6+c= 把 =0时y=0, 一1时y=o, 一丢时,=一代入 丢解悸th=1 1 叶 c=o, 解得 1 y:一 2+一 I +c=丢 I一:。_ ,= ,y=一 1 2t 1一 三:1无解,则 分析:由于分式方程的问题往往转化为整式方程的问 题来解决,故先去掉分母整理可得(叶2)x=3要使该关于 的分式方程无解,则存在方程(n+2)x=3的根是增根,或方 程(叶2)x=3本身无解两种情况 解:由 ( 一1)-0,可得x-O,或 =1 把原分式方程去分母可得, ( a)一3(X-1) ; ( 一1) 里龙江数 中学教学聋例5研竞 峨憨 整理得,(叶2)x=3 (1)当x-O时,(叶2) =3不成立,舍去 (2)当x=l时,a+2=3a=1 (3)当关于 的方程(叶2)x=3无解时, 则a+2=0 n=一2 综上可知,a=l或一2 评注:(1)分式方程无解是中考常考的问题,它包括以 下两种情况:一是分式方程去掉分母后所得的整式方程的 解是增根;二是分式方程去掉分母后所得的整式方程无 解由此可以看出分式方程无解与分式方程有增根并不相 同,应注意其区别与联系 (2)不理解概念很容易造成漏解,做到不重不漏才能 准确解决这类问题 二、数学定义、定理、公式适用范围的分类讨论题 例3:(2008年湖南省)当rn是什么整数时,关于 的 一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4mx2-4m一5=0的根 都是整数 分析:本题要求两个一元二次方程的根都是整数,首先 应根据一元二次方程的定义,二次项系数不为零(这也是 学生解决诸如此类问题中最易忽略的错误,应引起重视); 其次是有根,则62_4cI0通过以上两点就可确定n的取 值范围最后再由rn是整数,在m的范围内找出m的值, 并验证两个一元二次方程的根都是整数 解:由于给出的关于 的方程是一元二次方程, 二次项系数不为零,即mO 又由于方程均有实根,由方程, 2-缸+4-0,得b-4ac= (一4)24ra,40,解得m1 由方程x2-4rnx+4m2-dm一5=0,得b一4ac=(一4m)2 4 1(4m m一5)0,解得m一 f C 一 m1,且m0 4 又m是整数m一1或1 当m=一1时 方程,础2-缸+4=0可化为 +缸-4=0, 解这个方程可得,X-一22、2, 方程rgl,x 一缸+4=0的根不是整数, 故m=一1舍去 当m=l时, 方程m,x,2乱+4:0可化为 缸+4=0, 解这个方程可得, ,-X =2; 方程x2-4mx+4m 一4m一2:0可化为 一4x一2=0, 解这个方程可得, =5, :一1 由以Et寸论知,n=1时,元二jC方程mx一4 +4=0 与 24,眦+4m24m一5=0的根都是整数 评注:本题虽然是一道分类讨论题,但问题中还涉及到 利用判别式列不等式(组)并求出未知数取值范围,尤其是 对一元二次方程二次项系数的考查,更是抓住了学生的易 错点在中考的复习过程中,有意识地训练这类问题,不仅 能培养学生分类讨论的思想,更重要的是,它能培养学生细 心、耐心的品质,养成全面分析问题和解决问题的习惯 三、图形位置关系需要进行讨论的分类讨论题 例4:(2009年齐齐哈尔市)已知相交两圆的半径分别 为5cm和4cm,公共弦长为6cm,则这两个圆的圆心距是 _。H-_。一 分析:由于题目没有指明两圆的圆心与公共弦的位置 关系,故要分两圆的圆心在公共弦的同侧和两圆的圆心在 公共弦的两侧两种情况来讨论 图1 图2 解:设0D 的半径为5cm,0O 2的半径为4 am,0D 与6)0 的公共弦AB=6 cm连接A0 、A0 ,作直线0 0 交弦A 于点c,则o 0 lAB, c_ 告6=3(cm) (1)当630 与0 的圆心0。、0 在弦AB的两侧时 (如图1), 在RtAACOt中,AC+CO12-_A0l , CO1=、 OI c2=4(cm) 在RtAACO2中,AC2-4-CO=A02, 里龙;数考中学毅擎兽彬4 5研究 嬉熬 CO:=、 =、了(cm) 01D2=4+、7(cm) 当00。与。 的圆 0。、0:在弦AB的侧时(如图2), 由(1)可知,CO =4cm,c0 、丁cm, 0102=4一 7(cm) 综合可知,这两个圆的圆心距是(4、了)cm 评注:这是一道比较基础却很典型的分类讨论题,关键 是要注意两圆的圆心与公共弦的位置关系 例5:(2008年江苏省)在AABC中, 一25。,AD 是BC边上的高,并且AD =BDDC,则_BCA的度数为 _-_一_ 分析:由于问题中“AD是BC边上的高”没有说明点 D是在边BC上,还是在边BC的延长线上,故要分点D在 边BC上和边BC的延长线上两种情况来讨论 B D 图1 C 图2 D C 解:如图1,当点D在边BC上时, AD是BC边上的高,并且AD2=BDDC, = ,LADC=LADB=90。, ADC-BDA,_ CAD=LB=25。, LBCA=90。一 CAD=90。一25。=65。: 如图2,当点D在BC的延长线上时, AD是BC边上的高,并且AD2=BDDC, : ,LADC=LADB=90。, ADC一BDA_ CAD=LB=25。, 曰CA= D+ ( D-=-90。+25。=115。 由、可知,LBCA的度数为65。或115。 评注:这是一道非常容易出错的题目,很多学生由于看 惯了图1所示的图形而漏解 从以上两题可以看出:一些难度并不很大的题目频频 出现错误,很多时候就是由于缺乏对图形间位置关系的认 识,盲目画图,以一概全,不进行分类讨论才导致的这就要 求学生在中考复习中注重研究性学习与探究能力的培养, 通过观察、猜想、验证、推理等数学活动,形成自己对数学知 识尤其是数学方法的理解,才能对这类问题迎刃而解 四、问题条件模糊需要进行讨论的分类讨论题 例6:(2008年四川省)已知关于 的函数 =(口 +3叶2)X2+(叶1) + 1的图像与 轴总有交点求口的取 斗 值范围 分析:函数图像与 轴总有交点,就是当),=0时方程 总有实根,由于题中未明确指出是一次函数还是二次函数, 因此应分两种情况讨论 解:当a2+3a+2-0时,a一1或a-一2, 当 一1时,则函数可化为 , 与 轴无交点,故舍去; 当0=一2时,则函数可化为y: +, 叶 与 轴有一个交点 当+3叶20(即一1且0一2)时,函数 ( +3叶2) +(叶1)卅 1为二次函数 4 若该函数的图像与 轴总有交点,则6乙40cI0, (叶1)2_4(a2+3a+2) 10, 斗 解这个不等式,可得n一1 0一1且0一2, 当口一1且一2时, 该二次函数的图像与 轴有两个交点 综合、可知,当Ct一1时, 此函数的图像与 轴总有交点 评注:本题之所以要分类讨论,是因为问题中并没有说 明关于 的函数,=(0,2+3a+2) -4-(0+1)卅是一次函 -t 数还是二次函数,所以要分一次函数和二次函数两种情况 来讨论 五、涉及运动时间变化的分类讨论题 例7:(2009年宁夏回族自治区)已知如图1:等边三 角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在 AABC的边AB上沿AB方向以1厘米秒的速度向B点 运动(运动开始时,点 与点 重合,点到达点曰时运 里龙i;敖 中学教学兽例5研究 凌蕊 动终止),过点M、N分别作AB边的垂线,与AABC的其 他边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为t秒 M N 图1 Q _ A M D N B 图2 (1)线段MN在运动的过程中,t为何值时,四边形 P洽为矩形?并求出该矩形的面积; (2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积 为S,运动的时间为t求四边形MNQP的面积|s随运动时 间t变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围 分析:对于第(2)问,此题涉及了3个层次的分类讨 论,即点P、Q的位置与边AC、BC的位置关系:当点P、Q同 时在AC上时,Of1;当点P在边Ac上,点Q在边BC 上时,1t2;当点P、Q同时在点BC上时,2t3 图3 M N B 图5 图4 0 ll llll 解:(1)过点C作CD上AB,垂足为D如图2,则AD=2, 当MN运动到被cD垂直平分时,四边形MNQP是矩 形,即A 吾时,四边形 是矩形,=吾秒时,四边形 MNQP是矩形 PM=AMtan60。=寻 , 边形 :寻 , (2)当Ot1时,如图3, s呦形 =-(PM+QN)。MN =丢 件 ( )】 = H丁V3- 当11时,如图4, s日边 = 1(PM+QN)MN =丢 t+(3 )。1 =吾 当2t3时,如图5, Szr = 1(PM+QN)。MN =丢 (3一)+v3-(4一)】 一 H 评注:解运动型问题首先要弄清运动元素(如点、线 段、直线、多边形等)的运动状况:起点、终点、方向、路径、 速度等,然后抓住动点运动的某一瞬间,“以静制动”,画出 此时的几何模型图,再根据基本的相等关系把运动问题转 化为一般问题,从而找到量与量之间的关系解题时要切 实把握几何图形运动过程,注意运动过程中的特殊位置,在 “动”中求“静”,在“静”中探求“动”的一般规律如本题 MN在运动的过程中,P、Q的位置与边AC、BC的位置关系
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