第 3讲 数列的综合问题 丏题四 数列、推理与证明 高考真题体验 热点分类突破 高考押题精练 栏目索引 高考真题体验 1 2 1.(2015湖南 )已知 a 0， 函数 f(x) x(x 0， )f(x)的从小到大的第 n(n N*)个极值点 ， 证明：数列f(是等比数列 . 证明 f (x) x x e a si n x x ) a 2 1 e ax si n( x ) ， 其中 ta n 1a ， 0 2 . 1 2 令 f (x) 0， 由 x 0得 x 即 x ， m N*， 对 k N， 若 2x (2k 1)， 即 2 x (2k 1) ， 则 f (x) 0； 若 (2k 1) x (2k 2)， 即 (2k 1) x (2k 2) ， 则 f (x) 0. 因此 ， 在区间 (m 1)， )与 (， ， f (x)的符号总相反 . 1 2 于是当 x (m N*)时 ， f(x)取得极值 ， 所以 (n N*). 此时 ， f( ea() ( 1)n 1ea(). 易知 f ( x n ) 0 , 而f x n 1 f x n 1 n 2 e a n 1 si n 1 n 1 e a n si n e a 是常数 , 故数列 f(是首项为 f( )， 公比为 1 2 2.(2014课标全国 )已知数列 足 1， 1 31. (1) 证明 a n 12 是等比数列，并求 a n 的通项公式； 解 由 a n 1 3 a n 1 ，得 a n 1 12 3( a n 12 ) . 又 a 1 12 32 ， 所以 a n 12 是首项为32 ，公比为 3 的等比数列 . a n 12 3 因此 a n 的通项公式为 a n 3 n 12 . 1 2 (2) 证明1a 1 1a 2 1a n 0， 所以 1 0， 则 1 2， 所以数列 首项为 2， 公差为 2的等差数列 ， 故 2n. 答案 2n 热点二 数列与函数 、 不等式的综合问题 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景 ， 给出数列所满足的条件 ， 通常利用点在曲线上给出 还有以曲线上的切点为背景的问题 ， 解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系 ， 将条件进行准确的转化 考查最值问题 ， 不等关系或恒成立问题 . 例 2 已知二次函数 y f(x)的图象经过坐标原点 ， 其导函数为 f (x) 6x 2， 数列 前 n， 点 (n， n N*)均在函数 y f(x)的图象上 . (1)求数列 通项公式； 解 设二次函数 f(x) bx(a 0)， 则 f (x) 2b. 由于 f (x) 6x 2， 得 a 3， b 2， 所以 f(x) 32x. 又因为点 (n， n N*)均在函数 y f(x)的图象上 ， 所以 32n. 当 n 2时 ， 1 32n 3(n 1)2 2(n 1) 6n 5； 当 n 1时 ， 3 12 2 6 1 5， 所以 6n 5(n N*). (2) 设 b n 3a n a n 1， T n 是数列 b n 的前 n 项和， 求使得 T n 2 n 1 2 1 2 n 2 2 n 22 n n 1n . 所以 T n 122 12 23 n 1n 14 n . 综上可得对任意的 n N * ，均有 T n 14 n . 热点三 数列的实际应用 用数列知识解相关的实际问题 ， 关键是合理建立数学模型 数列模型 ， 弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型 ， 它的首项是什么 ， 项数是多少 ， 然后转化为解数列问题 要明确目标 ， 即搞清是求和 ， 还是求通项 ，还是解递推关系问题 ， 所求结论对应的是解方程问题 ， 还是解不等式问题 ， 还是最值问题 ， 然后进行合理推算 ， 得出实际问题的结果 . 例 3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来 ， 在 11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园 ，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受 “ 绿色通道 ” 的申请 、 受理 、 审批一站式服务 ， 某台商第一年年初到大陆就创办了一座 120万元的蔬菜加工厂 M， 从第二年到第六年 ， 每年年初 0万元 ， 从第七年开始 ， 每年年初 5%. (1)求第 的价值 解 当 n 6时 ， 数列 首项为 120， 公差为 10的等差数列 ， 故 120 10(n 1) 130 10n， 当 n 7时 ， 数列 130 60 70为首项 ， 以34 为公比的等比数列， 故 a n 70 (34 )n 6 ， 所以第 n 年年初 M 的价值 a n 130 10 n ， n 6 ，70 34 n 6 ， n 7.(2) 设 A n a 1 a 2 a A n 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年年初对 M 更新，证明：必须在第九年年初对 M 更新 . 证明 设 前 由等差数列和等比数列的求和公式 ， 得 当 1 n 6时 ， 120n 5n(n 1)， A n S 120 5( n 1) 125 5 n 95 80 ， 当 n 7时 ， 由于 570， 故 570 ( 570 70 34 4 1 (34 )n 6 780 210 ( 34 )n 6 . 因为 递减数列 ， 所以 递减数列 . 因为 A n S 780 210 34 n 6n ， A 8 780 210 3428 4 80 ， A 9 780 210 3439 3 0 且 a 1) 的图象上一点，数列 b n 的前 n 项和S n f ( n ) 1. (1)求数列 通项公式； (2) 求证 ：数列 1a n ln b n 1 的前 n 项和 T n 0 ，所以 T n 12 .