数学探究 十。7擞7(2010年第6期高中版) 57 椭圆上四点善回的克霪务件的行歹Ij式证 545006广西柳州高中 吴佐慧 430062 湖北大学数学系 刘合国 圆锥曲线是高中数学的重要内容，其中圆锥曲线上 四点共圆的相应内容也是高考考查的热点如2005年 湖北高考理工第21题以及2002年广东、江苏卷第20 题圆锥曲线上四点共圆均有相应的充要条件，但其证 明过程一般都是用参数方程等内容，计算量大且较复 杂，例如文1本文将应用行列式给出椭圆上四点共圆 的一个充要条件的证明这个证明是非常自然的，也是 容易理解接受的同时，行列式是高中选修的内容，是高 中与大学数学的衔接用此方法也能够激起学生们的求 知欲，使他们能够体会到学习数学的乐趣 下面我们来熟悉一下三阶行列式的性质 性质1 。ll l a31 n12 a32 n13 o a33 a1I a12 a13 all 0 at3 a31 a32 a33 =1，2，3) 这也就是说，一行的公因子可以提出来，或者说以 一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式 性质2 0Il 6l+cl (231 13 b3 a33 n12 b2+。2 (232 + n13 b3+。3 a33 al3 C3 a33 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行 列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行 以外全与原行列式的对应的行一样 性质3把一行的倍数加到另一行，行列式不变 性质4对换行列式中两行的位置，行列式反号 对于这些性质可以直接计算得到同时四阶行列式 也有同样的性质在给出定理的证明之前我们先来看下 面几个引理 引理1 =(fl+2+t3+4)1 4(ti一 ) 证明 由前面的性质可得 1 t1 0 t2-t】 0 t3-tl 0 t4-ti l：一 ： f；一： 1 f2+fi(f22+2i)(f2+1) 1 t3+I(；+f；)(t3+I) 1 t4+f1(f：+f )(t4+f1) t t： 2_t；一 23一t f43一t： 2一t 4一 1 t2+zl (22+2I)(t2+t1) 0 t3-t2 (3一t2)(2I+22十32+tIt2+tlt3+f2t3) 0 t4-t2 (t4-t2)(t2l+f22+42+tlt2+flt4+2t4) =(t2一t )(f3-t2)(t3-t )(t4一 )(t4-t】) 1 2l+22十 32+fl2+l 3+2t3 I 4 1 f21十f22十f42+ l 2+tIt4+t2f4 l ：( I+f2+ 3+4)1 4( 一z。) I 4 引理2 =(z + 2t +f f + )， ( ) 证明 由前面的性质可得 58 =(t2-tl t2+tl Z3+tl t4+fl 0 0 0 )(t3-t )(t4-t。) f；十lt2+：(t；+ t23+tIt3+t： t24+tlt4+： )( (t23+t：)( (t24+t：)(14+fI) 十7擞7(2olo年第6期高中版) 4一 ：一 =(ttt2t3+tt2t+tt3f4+ 3 )l ( 一 ) 设A。( 。，Y。)，A：( ：，Y2)，A3( ，Y3)，是平面上三点， tl-点不共线，则过，A。， ，A，三点的圆的方程为 l 1 x Y x22+Y22一o- y4)是平面上四点，且A。，A ，A，A 中无三点共线，则A。， A：，A，A 四点共圆的充要条件是 22+ 2 ； ： ： =0 定理设A (acosO，bsin0i)(i=1，2，3，4；OOi2叮r) ， 2 是椭圆 +告=1(其中o6)上互异四点，则四点共圆 “ t， 的充要条件是0 + + + =21T，4-rr，61T 证明必要性如果A。，A ，A，A 四点共圆，由引理3 可以得到 acosOl acosO， acosO3 acosO4 bsinOl bsin0， bsin03 bsin04 CoS COS COS Cos 01 sin 0l +6 03+b。 04+b sin sin 03 sin =0 由四阶行列式的性质化简可得 1 cosOl sinOl a COS l cos02 sin02 a COS 1 cosO3 sinO，a COS 1 cosO4 sinO4 a COS 0l+6。 。 +6 数学探究 sin0l sin 0 03+b sin 03 04+b sin 04 =0 由极限的观点，三角函数的万能公式始终成立故 令tan孚= 1，2，3，4)则由三角函数中的万能公式可 得 sin叁一 ：篝 =1,2,3,40i- ) “菇，c0 哥；( ) 于是式可以化成 故 l+ f2+： 3+f； t4+ t： t； t t： t t； z； t： 同时由引理1和引理2可得 (tt t2+f3+z )。 (一 =(lt2 +lt2t4+lt3t4+2f3t4)l 又因为t。0，(i， =1，2，3，4) ：0， FI(ti-t ) 勺4 肌 ： O+ 02 03+041 一tan 二三tan 因此0t+02+03+ =2n-rr，Y-N为0 2-n-，所以0。+ 2+6l3+04=2,rr，4,rr，6rr 至此证明了必要性，充分性，反之亦然 参考文献 1陈振宣圆锥曲线上四点共圆的充要条件J数学教学， 2007，2 (收稿日期：20100328) ， 一 2 2 !l f 一 一 1 4 f t 2 l 2 l 一 一 2 3 2 4 4“4 4幻4 n- j n ， l t 一 一 4 2 4 3 f f n 一 一 3 2 3 3 f 2 l 2 l t f 一 一 3 t J 一 3 4 、 、， t + + 2 3 f f 4“ 4 4如 4 4“ 4缸 4 n n n 4“ J幻 “ “ 4 f 3 2 f + 4 3 f + 4 2 + 3 2 f lI 4 + 3 f + 2 f + 以时 所此 砌 l 1 1 l 一 卜 2口 20 2口 2口