2010 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1关于 2010 年上海世博会影响力的评估从历史文化交流方面进行讨论摘要本文从各国人民在历史文化方面的交流评估了 2010 年上海世博会的影响力。根据题意以及互联网收集到的数据，建立了数学模型并定量估计了上海世博会的影响力，突出上海世博的主题“城市，让生活更美好”的基本理念。首先，运用灰色聚类法对互联网收集到的数据进行灰类等级划分，再对数据进行无量纲化处理。其次，建立各灰类白化函数，再对各组数据进行聚类权运算，进而得出各因素的相应数据。最后，通过白化函数得到的 矩阵和聚类F权运算得到的 函数，应用求聚类公式 ，求得各聚类对象的1*nLjjLjjfd各灰色聚类系数及结果。然后应用层次分析法，推导出一种进行加权分析的方法，利用本方法对影响世博会的各个因素进行加权，得出了各个世博城市关于影响力的组合权重数据为 ，通过比较得到上海世博会影(0.364,.20,.743)T响力均高于爱知、汉诺威世博会。合适的评估体系是本课题的关键。我们充分利用互联网收集到的数据进行分析及统计，并考虑到方案的可操作性。通过组合权重数据，得到了三个世博城市关于影响力的权重。由于此模型不受指数的影响，有很好的灵活性，使得我们可以根据实际情况灵活选取指数，减少模型的工作量，增加模型精度。关键字：定量估计、层次分析法、灰色聚类法2一、问题重述2010 年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从 1851 年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、 体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。可以从我们感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估 2010 年上海世博会的影响力。二、问题的提出和分析1.1 对问题的初步分析现在我们通过各国人民交流历史文化这个侧面，来讨论 2010 年上海世博会影响力的评估。（1）各国人民交流历史文化这个方面为对上海世博影响力分析的影响因素：品牌推广、民俗交流、城市知名度、旅游推广、工艺品展；（2）影响准则层的尺度因素：场地面积、游客的流量、举办的时长、展馆数 ；1.2 应用灰色聚类的方法求权应用灰色聚类的方法判断聚类的对象所属的级别，通过分析对象的级别，对其客观定量的因数进行相应的加权，然后求出各个影响因素的权数。给出聚类所需的白化数，确定灰类的相应白化函数；再求出聚类权、聚类系数；进行聚类计算、得到聚类结果，进而根据聚类结果对其客观定量的因数进行相应的加权，之后，求出权数。1.3 应用层次分析法将决策问题分为 3 个层次：目标层、准则层、方案层 ；应用（1）中考虑的因素作为准则层，各世博举办城市作为方案层。通过 2 中得到的权数确定各个方案对各准则的权重，再运用成对比较法和 19 尺度确定各准则对目标的权重，再将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。1.4 关于准则的变量考虑品牌推广：品牌推广主要对象是观展世博的人群，所以我们有理由相信上海世博产品的推广是关于观展人数的函数，根据数据比较各个世博的观展人数。同时，与参展时长以及参展面积是成正相关的。民俗交流：世博期间，各国通过表演及产品的展览推广自己的国家，进行相互交流。展品的推广以上已经考虑，现在考虑在世博期间，各国通过展馆内的表演以及宣传，相互交流。这些与世博的展馆数、举办的时长、游客的人数等因素有关。城市知名度：世博期间，国家与国家之间、人民与人们之间通过交流、宣传提高城市知名度，世博的场地面积、举办的时长、游客的人数越多，就更能提高城市的知名度。旅游推广：旅游推广与举办的时长、游客的人数、参展面积是成正相关的。工艺品展：首先明确艺术品展览的数量越多对文化的交流越有利。主要通过艺术品本身的数量、质量影响文化的交流。因为世博中各国均展览较好的展品，所以质量都是一流的，不做考虑。故主要通过比较艺术品的数量， （其他条件影响较小忽略不计）来比较各国在艺术品展览方面对文化交流的影响。其中影响艺术品数量的主要因素有：世博的场地面积、世博的展馆数，举办的时长、游客的流量；随着场地面积、游客的流量、举办的时长、展馆数的增多，艺术品的数量增多，易得到艺术品的数量与场地面积以及展馆数是成正相关的，忽略其他因素。3三、模型假设1、假设认为数据的处理只考虑主要因素的影响。2、假设认为各个因素的量化只考虑数值的变化，忽略主观因素和地域差异等的影响。3、假设认为互联网中的数据都是真实有效的，土地面积、人数等的统计都以整数级为单位。4、假设认为定量评价灰类的划分根据历年平均以及经验值划分是合理的，忽略其它因素的影响。5、假设认为层次结构中准则层可以通过文献和个人判断力得出准确比较尺度。6、假设认为可以忽略准则层中各个因素之间的相互影响。7、假设认为总参加上海世博的人数等于预测的 7500 万人。 四、符号说明模型（一）1、 第 个聚类对象第 个指标的无量纲化处理的白化值Lidi2、 第 i 个指标第 j 个灰类的有量纲标准值jc3、 第 i 个指数的参考标准S4、 第 i 个指标第 j 个灰类的无量纲处理后的标准量ijp5、 指标 灰类的白化函数fx6、 每个指标的不同灰类级别在总灰类中的权ijW7、 各个指标在各级灰类的权8、 第 个聚类对象的白化函数值矩阵iFi9、 聚类对象对灰类的亲疏程度可由聚类系数Lj模型（二）1、 准则层各个因素的准则层的尺标iw2、 准则层对目标的成对比较阵A3、 一致阵定义一致性指标CI4、 Saaty 随即一致性指标R5、 定义一致性比率6、 方案层对准则层的成对比较阵iB7、 的特征根i五、模型建立5.1 评价指标体系选择一个适当的层次分析指标体系对于合理贴切的分析尤为重要.通过各国人民交流历史文化分析上海世博的影响力的要素是一个非常复杂的系统. 该系统的指标多达数十种, 对所有指标进行归类分析整理, 并按照系统分析原理, 以通用性、协调性、综合性、客观性和实用性为原则, 建立一个多层次综合评价指标体系。再通过4层次分析法进行分析，建立第二个模型，他它包含 3 个层次: 目标层、准则层、 方案层. 目标层为各国人民历史文化交流, 准则层各有 5 个方面, 方案层为上海世博会、日本爱知世博会、德国汉诺威世博会。见图各国人民历史文化交流民俗交流 城市知名度品牌推广 旅游推广 工艺品展览2010 年中国上海世博会2005 年日本爱知世博会2000 年德国汉诺威世博会评价的递阶层次结构图5.2 聚类模型的建立应用灰色聚类的方法判断聚类的对象所属的级别，分析级别，对其客观定量的加权。5.2.1 灰色聚类的方法，就是建立在白化函数的基础上，将聚类对象对于不同的聚类指标所拥有的白化数按几个灰类归纳，进而判断该聚类对象是属于哪一类的一种方法。基本步骤如下：（1）给出聚类所需的白化数；（2）确定灰类的白化函数；（3）求聚类权；（4）求聚类系数；（5）进行聚类计算、得到聚类结果。（6）根据聚类结果对其客观定量的加权5（7）灰色聚类法在上海世博会影响力分析中的应用（8）确定聚类对象、指标及灰类的划分为了评价上海世博的影响力我们将上海世博、日本爱知世博、德国汉诺威世博 三届世博会作为聚类对象，即 =1、2、3。L5.2.2 相关的数据统计根据互联网上的有关调查，将影响世博的主要因素旅客流量、参展面积、举办时长、参展国家数作为聚类指标，即 =1、2、3 、4。往届世博会监测数据（即i白化数） ，建立表格。 见表 1。表 1 往届世博数据指标 上海世博 日本爱知世博 德国汉诺威世博旅客流量（万人） 7500 2200 1800参展面积（平方公里） 3 1.73 1.6举办时长（天） 184 185 153展馆数（个） 210 125 190根据近十届世博来，各个世博的数据及有关文献本文确立了 3 个定量评估级别，即一共有 3 个灰类记为 ，见表 21,3j表 2 定量评价灰类的划分指标 灰类 1 灰类 2 灰类 3旅客流量（万人） 1000 2000 5000参展面积（平方公里） 1.0 2.0 2.5举办时长（天） 150 180 200参展国家数（个） 100 150 1805.2.3 数据的无量纲化处理 为了使所有白化数在运算时都不受量纲的影响，且便于综合分析，并使聚类结果具有可比性，所以要对给出的白化数和灰类数进行无量纲化处理往届参数的无量纲化处理计算公式如下：LiiCdS1,234i式中： 第 个聚类对象第 个指标的无量纲化处理的白化值，见表 3Lid3 往届参数的无量纲化结果 Ljd指标 上海世博 日本爱知世博 德国汉诺威世博旅客流量（万人） 3.75 1.1 0.9参展面积（平方公里） 1.5 0.865 0.8举办时长（天） 1.02 1.03 0.85参展国家数（个） 1.4 0.83 1.27相应的原始白化值，见表 1；LiC6第 i 个指数的参考标准，根据实际情况选前四级标准定量评价划分值，即iS旅客流量为 2000 万，参展面积为 2.0 平方公里，举办时长为 180 天，参展国家150 个。5.2.4 各级标准的无量纲化处理计算公式如下：ijijCpS1,234式中： 第 i 个指标第 j 个灰类的无量纲处理后的标准量，见表 4。ijp表 4 各灰类的无量纲化结果（ ）ijp指标 1 2 3旅客流量（万人） 0.5 1 2.5参展面积（平方公里） 0.5 1 1.25举办时长（天） 0.83 1 1.11参展国家数（个） 0.67 1 1.2第 i 个指标第 j 个灰类的有量纲标准值，见表 2； 意义同上。ijc iS5.2.5 建立各指标的各灰类白化函数对于 i 个指标 j 个灰类，可以用白化函数曲线或关系式表达各个指标的白化值分别对个灰类的亲疏关系。当评价因子的值等于（小于一级或大于九级）标准值 时，取对应级别的隶ijp属的为 1，此外均按下式计算： (1)(1)(1) (1)()(1)0ij ijijijjijij ijijpijijxxpf xp或式中： 指标 灰类的白化函数；ijfxij根据表各级灰类标准值（见表 4）及上述公式可得到各评价因子对各级灰类的白化函数如下：71 0.50.25.1.025xxf x或12.1.52.50xxfx或13.125.54.4.0fxx或210.5.5.20.1.5xxfx或210.15.250fxx或2311.25.56.60.1xf x或8310.830.56.27.1.056xxf x或321.8.317. .018xxfx或3 1.0.1.3.21fxx或410.670.3.1.03xxf x或421.67.13.2067xxfx或4311.20.25.53.1fx或95.2.6 计算聚类权先对每个指标的不同灰类进行算求和，再用某一灰类值除以算术和的值作为第一次权值，即 ijnW=p/1由上式可知，游客流量在灰类 1 在 4 个灰类级别中的权为：0.060611213/WP0.5/.20同理，可求出其他指标 ，见表五ij表五 各指标各灰度权重 ij指标 1 2 3旅客流量 0.0606