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第四章 解析函数的级数表示 (The representation of power series of analytic function)第一讲授课题目:4.1 复数项级数4.2复变函数项级数教学内容:复数序列的极限、复数项级数及其敛散性、复变函数项级数、幂级数、幂级数收敛半径的求法、幂级数和函数的解析性.学时安排:2 学时教学目标:1、正确理解条件收敛与绝对收敛 2、掌握幂级数的收敛圆的概念,会求幂级数的收敛半径,了解幂级数的运算和性质. 3、正确掌握幂级数和函数的解析性教学重点:复数项级数教学难点:幂级数和函数的解析性教学方式:多媒体与板书相结合作业布置: 思考题:1、2、习题三:1-50P板书设计:一、幂级数二、幂级数收敛半径 的求法R三、幂级数和函数的解析性参考资料:1、 复变函数 ,西交大高等数学教研室,高等教育出版社.2、 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解 ,高等教育出版.3、 复变函数论 , (钟玉泉编,高等教育出版社,第二版)2005 年 5月.4、 复变函数与积分变换苏变萍 陈东立编,高等教育出版社,2008 年 4月.课后记事:1、会熟练求幂级数的收敛半径2、基本掌握幂级数和函数的解析性3、课后要答疑教学过程:4.1 复数项级数(Series of complex terms)一、复数序列的极限(Limit of the plural array)设 为一复数序列,其中nzL,21按照,.,.21 nnibazibaiba 是有界或无界序列,来定义 为有界或无界序列.|nz 设 是一个复常数.如果任给 ,可以找到一个正数 ,0 0N使得当 时,有N,|0zn那么我们说 收敛或有极限 ,或者说 是收敛序列,并nz nz且收敛于 ,记作0z.0limzn如果序列 不收敛,则称 发散,或者说它是发散序列.nz定理(Theorem)4.1设 ,则 的ibaz0 nnibzL,210limzn充分必要条件是 lm,la证明:由下列不等式 | 0bazba nnnnn 及可知, 0limz,li,liba因此,有下面的注解:注 1:复数序列也可以解释为复平面上的点列,于是点列收敛于 ,nz0z注 2:利用两个实数序列的相应的结果,我们可以证明,两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛,并且其极限是相应极限的和、差、积、商.二、复数项级数及其敛散性(Complex and the Convergence of Series)设 为一复数序列,表达式nzL,21.nz称为复数项级数.记作 ,其部分和序列为:1nznzS.2如果序列 收敛,那么就称级数 收敛;如果 ,nS1nzSnlim那么说 的和是 ,或者说 收敛于 ,记作1nz S,1nz如果序列 发散,那么就称级数 发散.nS1n例 1 当 时,判断级数|z.2nz是否收敛?解:部分和 zzzzS nnnn 11.12当 时,有 ,从而有|0limn1li01lizznn所以 ,这就是说,当 时,级数Snli 1|.12nzz收敛,其和为 ,即当 时|zzzn1.2定理(Theorem)4.2 设 ,则级数 收niba1nz敛的充分必要条件是 与 都收敛.1n1n定理(Theorem)4.3 级数 收敛的必要条件是z,0limnz证明:因为级数 收敛的充分必要条件是 与1nz1nx都收敛, ,再由实级数 与 收敛的必要条件是1ny1nx1ny0linx0limny定理(Theorem)4.4 若级数 收敛,则级数1nz也收敛.1nz定义 4.1若级数 收敛, 则称 绝对收敛.|1nz1nz非绝对收敛的收敛级数,称为条件收敛.例 2 判别下列级数的收敛性(1) (2) (3)1nni1ni12ni解:(1)发散 (2)条件收敛 (3)绝对收敛注 3:关于实数项级数的一些基本结果,可以不加改变地推广到复数项级数,如:柯西收敛原理(复数项级数):级数 收敛必要与充1nz分条件是:任给 ,可以找到一个正数 ,使得当 时,0N对任意正整数 ,有P|.|21pnnz本节重点掌握: (1)复数项级数及其敛散性判别法(2) 收敛的充分必要条件是 与 都收敛.1nz1na1nb(3)级数 收敛的必要条件是n ,0limz4.2 复变函数项级数(Series of function of complex variable)一、复变函数项级数(Complex Function Series)设 在复平面区域 内有定义, 称其为复L,21nzf D变函数序列, 记为 .称表达式zfn(1)1)(nfLzff321为 区域 内的复变函数项级数.其前 项和DnzfzfzSnL21称为(1)的部分和.若对点 , ,则称 在点zzSnlim1)(nzf收敛于 ,称 在区域 内收敛于 .也称DzS1)(nfDS为级数 的和函数S1)(nzf例 3 在区域 内,函数项级数|.2nzz收敛于 ,即z1zzn1.2 1|定义: 若 0,N 0, 当 n N 时, 对一切 z E, 有 |)(|1zffnk则称 在 E 上一致收敛于 .1)(nf zf一致收敛的 Cauchy 收敛准则(Uniform convergence of Cauchy convergence criterion)在 E 上一致收敛当且仅当 0,N 0, 当 n 1)(nzfN 时, 对一切 p N , 一切 z E, 有 | | .zfzffnnnL21优级数准则 (Excellent series standards)设 为一收敛的正项级数 , 且 | | n, n = 1nzfn1,2, , z E. 则 在 E 上一致收敛.1)(nzf级数 的和函数 有如下性质:1)(nff连续性(Continuity)设 在复平面点集 E 上连续, 并且 在 L,zfn2 1)(nzfE 上一致收敛于 , 则 在 E 上连续.zfzf可积性(Integrability)设 在简单曲线 C 上连续, 并且级数 在 C L,n,zf211)(nzf上一致收敛于 , 则 f cncdzfzf)()(1内闭一致收敛(Uniform convergence in closed)设函数 在复平面上区域 D 内解析, 如果 L,zfn2在 D内的在一有界闭区域上一致收敛, 则称 1)(nzf在 D 中内闭一致收敛.1)(nf魏尔斯特拉定理(Theorem, Stella of Er, Wei) 设函数 在区域 D 内解析, 并且 在 L,n,zf211)(nzfD 内内闭一致收敛于 . 则 zf(1) 在 D 内解析, 并且在 D 内 zf(2) ( , p= 1,2, )1)()(nppzff 二、幂级数(Power Series)形如(1.)(.)()()( 02020100 nnnn zzzz )的复变函数项级数称为幂级数,其中 均为复数.L,210n显然, (1)在点 收敛.0z首先研究幂级数的收敛性,有阿贝尔(Abel)定理:定理(Theorem)4.5 如果幂级数 在00)(nnz收敛,则幂级数(1)在圆域 内绝对收)(0z |10z敛.证明:设 为圆域 内任一点,z|010zz因为幂级数 在 收敛,所以有00)(nn)(,0lim1nnz因此存在着有限常数 ,使得 .M,)1(|)(|M则有 nnnnn zzzz 0101010|)(|)(| 由于级数 收敛,所以此幂级数在满足001kZM的任何点 z不仅收敛,而且绝对收敛.|zz推论(Inference)如果幂级数 在 发散,00)(nnz)(01z那么对满足 的任何 它都发散.|010zz 证明:用反证法,设 为满足 内任一点,z|010zz若幂级数(1)在点 收敛,则由阿贝尔(Abel)定理知001)(nnz收敛.与题设矛盾.因此满足 的任何点 幂级数|010zz都发散.证毕00)(nnz关于(1)的收敛性有下面三种情况:第一种 对于任意 幂级数 都发散.0z00)(nnz第二种 对于任意 幂级数 都收敛.00)(n第三种 若存在一个复数 ,使得 收敛,01z001)(nnz则由阿贝尔(Abel)定理,在 内,|10绝对收敛.00)(nnz另外又存在一个复数 ,使得 发散,则由阿贝2z002)(nnz尔(Abel)定理,对满足 的任何 ,|01发散.00)(nnz在第三种情况下,可证明,存在一个有限正数 ,使得R在圆周 内绝对收敛,在圆周00)(nnzRz|0的外部发散. 称为幂级数 (1) 的收敛半径; R|为收敛圆周. z|0注 4:第一种,约定 ,第二种,约定0RR注 5:当 时,在 上,幂级数z|0的敛散性不定 .即幂级数 (1) 在收敛圆周 00)(nnz上可能收敛, 也可能发散.R|三、幂级数收敛半径 的求法R((Power series method for finding the radius of)定理(Theorem)4.6 给定幂级数 00)(nnz(1)比值法:若 ,则幂级数 的收敛|lim1nn 00)(nn半径 ;R(2)根值法:若 ,则幂级数 的收n|li 00)(nnz敛半径 ;1(3)当 时, ;0R(4)当 时, ;0例 4 求幂级数 , , 的收敛半径 ,并讨0nz0n02nzR论它们在收敛圆周上的情况.解:对于上面三个幂级数都有 ,所以它们的1|limnn收敛半径都是 ,在收敛圆周上的情况如下:1R在 上,因为 ,所以在 上处处发0nz0linz1z散.在 上,当 时收敛,当 时发散 .0nz11z1z在 上处处绝对收敛,因而也是处处收敛.02nz例 5 求幂级数 的收敛半径0)1(nnR解: ,所以收敛半径都是 .|lim1nnli 1其收敛圆周 ,当 时,幂级数 收敛,当|z0z0)(nnz时,幂级数 发散.2z0)1(nn四、 幂级数和函数的解析性(Analysis of power series and functions)定理(Theorem)4.7 设幂级数 有收敛圆盘00)(nnz.则它的和函数Rz|0.)(.)()()( 0202010 nnzzzzf 在 内解析,并且在 内R| R|可以逐项求导任意次.即00)(nnzzf
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