2006 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类） （北京卷）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 9页，共 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束。将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题共 40 分）注意事项：1答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设集合 ， ，则 等于（A） （B） （C） （D） （2）函数 的图象（A）关于 x 轴对称 （B）关于 y 轴对称（C）关于原点对称 （D ）关于直线 对称（3）若 a 与 bc 都是非零向量，则“a b=ac”是“a （bc） ”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有（A）36 个 （B） 24 个（C）18 个 （D） 6 个（5）已知 上的增函数，那么 a 的取值范围是（A） （1，+） （B） （ ，3） （C） ， （D） （1，3）（6）如果1，a、b、c ，9 成等比数列，那么（A） ， （B） ， （C） ， （D） ， （7）设 A、B、C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（A）若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面（B）若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线（C）若 AB=AC，DB=DC ，则 AD=BC（D）若 AB=AC，DB=DC，则 ADBC （8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A、B、C 的机动车辆数如图所示，图中 、 、 分别表示该时段单位时间通过路段 AB，BC，CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等） ，则（A） （B） （C） （D） 答案 2006 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类） （北京卷）注意事项：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。题 号 二 三 总 分15 16 17 18 19 20二、填空题：本大题共 6 小题，每小 题 5 分，共 30 分。把答案填在题中横线上。（9）若三点 A（2，2） ，B（a，0） ，C （0，4）共线，则 a 的值等于 .（10）在 的展开式中， 的系数是 .（用数字作答）（11）已知函数 的反函数的图象经过点（2，2） ，那么 a 的值等于.（12）已知向量 a（cos ，sin ） ，b=（cos ，sin ） ，且 a b，那么 a+ b 与 ab 的夹角的大小是 .（13）在ABC 中，A，B ，C 所对的边长分别为 a、b、c. 若 =5:7:8. 则 = ，B 的大小是 .（14）已知点 P（x，y）的坐标满足条件 点 O 为坐标原点，那么| PO | 的最小值等于 ，最大值等于 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15） （本小题共 12 分）已知函数 .（）求 的定义域；（）设 的第四象限的角，且 ，求 的值. （16） （本小题共 13 分）已知函数 在点 x0 处取得极大值 5，其导函数 的图象经过点（1，0） ， （2，0） ，如图所示，求：（）x0 的值；（）a，b，c 的值.（17） （本小题共 14 分）如图，ABCDA1B1C1D1 是正四棱柱.（）求证：BD平面 ACC1A1；（）若二面角 C1BDC 的大小为 60，求异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小. （18） （本小题共 13 分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 求：（）该应聘者用方案一考试通过的概率；（）该应聘者用方案二考试通过的概率. （19） （本小题共 14 分）椭圆 的两个焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且 PF1F1F2 ，（）求椭圆 C 的方程；（）若直线 l 过圆 的圆心 M，交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程. （20） （本小题共 14 分）设等差数列 的首项 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.（）若 ，求数列 的通项公式；（）若 求所有可能的数列 的通项公式.绝密启用前2006 年普通高等学校招生统一考试数学（文史类） （北京卷）参考答案一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）A （2）B （3）C （4）A （5）D （6）B （7）C （8）C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）4 （10）84（11）2 （12） （13）5:7:8 （14） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）（15） （共 12 分）解：（）由 ，故 在定义域为 ，（）因为 ，且 是第四象限的角，所以 ，故 （16） （共 13 分）解法一：（）由图象可知，在（，1）上 ，在（1，2）上 ，在（2，+）上 ，故 在（，1） ， （2，+）上递增，在（1，2）上递减，因此 在 x=1 处取得极大值，所以 x0=1.（） ，由 得 解得 解法二：（）同解法一.（）设 又 ，所以 由 ，即 得 ，所以 （17） （共 17 分） 解法一：（）ABCDA1B1C1D1 是正四棱柱，CC1平面 ABCD，BDCC1. ABCD 是正方形 BDAC又AC，CC1 平面 ACC1A1，且 ACCC1=C，BD平面 ACC1A1.（）设 BD 与 AC 相交于 O. 连接 C1O.CC1平面 ABCD，BDAC，BDC1O，C1OC 是二面角 C1BDC 的平面角，C1OC=60.连接 A1B.A1C1AC，A1C1B 是 BC1 与 AC 所成角.设 BC=a，则 CO= ，CC1=COtan60= ，A1B=BC1= ，A1C1= .在A1BC1 中，由余弦定理得cosA1C1B= ,A1C1B=arccos ,异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为 arccos .解法二：（）建立空间直角坐标系 Dxyz，如图.设 AD=a，DD1=b，则有 D（0，0，0） ，A（a ，0，0） ，B（a，a，0） ，C（0，a，0） ，C1（0，a ，b） ，BDAC，BD CC1.又AC，CC1 平面 ACC1A1，且 ACCC1=C，BD平面 ACC1A1.（）设 BD 与 AC 相交于 O，连接 C1O，则点 O 坐标为（ , ,0） ， , ,B）.，BDC1O，又 BDCO，C1OC 是二面角 C1BDC 的平面角，C1OC=60.， . ， 异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为 arccos .（18） （共 13 分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A，B，C，则 P（A）=0.5，P（B ）=0.6，P（C）=0.9.（）应聘者用方案一考试通过的概率 =0.50.60.1+0.50.60.9+0.50.40.9+0.50.60.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.（）应聘者用方案二考试通过的概率= （0.50.6+0.60.9+0.5 0.9）= 1.29=0.43.（19） （共 14 分）解法一：（）因为点 P 在椭圆 C 上，所以 |PF1|+|PF2|=6，a=3.在 RtPF1F2 中，|F1F2|= ，故椭圆的半焦距 ，从而 所以椭圆 C 的方程为 （）设 A，B 的坐标分别为（ 已知圆的方程为 ，所以圆心 M 的坐标为（2，1） ，从而可设直线 l 的方程为，代入椭圆 C 的方程得因为 A，B 关于点 M 对称，所以 ，解得 ，所以直线 l 的方程为 即 （经检验，所求直线方程符合题意.）解法二：（）同解法一.（）已知圆的方程为 ，所以圆心 M 的坐标为（2，1） ，设 A，B 的坐标分别为（ 由题意 且， ， 由得 因为 A，B 关于点 M 对称，所以 代入得 ，即直线 l 的斜率为 ，所以直线 l 的方程为 ，即 （经检验，所求直线方程符合题意.）（20） （共 14 分）解：（）由 又 故解得 因此， 的通项公式是 1，2，3，（）由 得由+得7d11 ，即 由+得 ,即 ,于是 又 ，故.将 4 代入得 又 ，故 所以，所有可能的数列 的通项公式是1，2，3，.