1第十章 曲线积分和曲面积分（A）1、计算下列对弧长的曲线积分1） ，其中：dsyxnL)(2 )20(sin,co: taytxL2） 其中,xdsL围 成及为 由 2xy3） 其中 T为折线 ABCD，这里 A，B，C，D 依次为点（0，0，0） ， （0，0，2） ，,2yzdsxT（1，0，2） ， （1，3，2）4） 其中 L：,)(2dsyxL )20(),cos(in),si(co ttayttax2 、计算下列对坐标的曲线积分1） 其中 L是 上从（0，0）到（2，4）的一段弧,)(2dxyLxy2） 其中 L是 及 x轴围成的在第一象限内的区域的整个边界,xydL 22)(ayx（逆时针向）23） 其中 T为有向闭折线 ABCA，这里 A，B，C 依次为点（1，0，0） ，,ydzxT（0，1，0） ， （0，0，1）4） ，其中 L是 上从点（-1，1）到（1，1）的dyxdxyL)2()2( 2xy一段弧3、利用格林公式，计算下列曲线积分1） 其中 L为三顶点分别为（0，0） ， （3，0）和,)635()42( dyxdyxL（3，2）的三角形正向边界2） 其中 L为正向星形线,)2sin()sin2co( 222 dyexdeyxyx xxL )0(33a3） 其中 L为抛物线 上由,)3sin21()cos2( 223 dyxydxyxL 2yx（0，0）到（ 的一段弧,4、验证下列 在整个 面内是某个 的全微分，并求这样的dyxQyxP),(),(xo),(yxu3),(yxu1） dyx)2(2） dyxydxyx )sini2()coss( 225 、计算下列对面积的曲面积分1） 其中 为平面 在第一卦限中的部分,)342(dszyx1432zyx2） 其中 为锥面 被柱面 所截得的有,)(dsxzy2yxzaxyx22限部分6 、计算下列对坐标的曲面积分1） 其中 是球面 的下半部分的下侧,2zdxy22Rzyx2） 其中 是平面 围成区,yzdxxzdy1,0, zyxzyx域的整个边界曲面的外侧47 、利用高斯公式计算曲面积分1） 其中 为球面 的外侧,333dxyzydzx22azyx2） 其中 为界于 之间的圆柱体 的,zdxyyxdz3,0z92yx整个表面的外侧8 、 求下列向量的散度1） kxyzjxyizxA)()()( 222 v2） kxzjyieAxy )cos()s(2v9、求下列向量场 A的旋度1） kxyjzxiyz)2()3()2(v2） jyxziyzA)cos()sn(v5(B)1、一段铁丝成半圆形 ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，2xay求其质量.2、 把 化为对弧长的曲线积分，其中 L为 从点 A（-1，1）到xdyL2 2xyB（1，1）的弧段.3、把 化成对弧长的曲线积分，其中 为曲线xzdyxzd 32,tzytx一段弧.0()1t4、求心形线 所围图形的面积.tatytatx 2sini2,cos25、求 ，其中： 为dyxyedxyxeyxL )32()23( 22 L从 A（1，0）到 B（0，1）.66、 把 化为对面积的曲面积分，其中RdxyQzPdy1） 是平面 在第二卦限部分上侧632x2） 是 上侧22yxaz7 、 其中 为锥面,2)()(22 zdxyzxydzx 的上侧.)0(12zyxz8、 ，其中 为柱面 与平面dzyxdzdxy)()()( 222 12yx的交线，从 z轴正向看 为逆时针方向.1x（C）1、 计算 其中：L： （,)()()( dzyxzdxyIL ,122hzaxy从 X轴正向看去 L为逆时针.),0,ha72、 已知曲线积分 其中 L为 正向，求,)3(dyxdyIL )0(22Ryx（1） R为何值时 ;0（2） 求 的最大值.3 、计算 ,其中：Idxyzyxfzdyxfyzxf ),(),(2),(连续， 为 在第卦限部分的上侧.),(zyxf 1第十章 曲线积分和曲面积分习 题 答 案（A ）1、1） 2) 12na)1265(93()21()4(3a2、1） 2） 3） 4）56a53、 4、 )0)222)1yxyxcossin)25 、 6 、 7、 6145a705R815a81)8、 zyxdivA2) sin(2)si() 2xzxyyedivAx9、 kjrot jrot（B）1、提示： ，上半圆22:,xayLydsmL 2a2、提示： 2241sin,41cos,tn,: xxx dsydxydyx LLL 22222 )()( 3、提示：,3,1, 232 tztxtzt t，4234242 91cos,9cos,91cos ttt dstxyzdtxzyxzdyzxd 424261384、 2621aydxsL5、连 OA，OB， （O（0，0） ） ，使 OA，OB，L 构成 圆周， 于是41=0 而DdyPxQ)( 1,)3(,3210210 LBOAOdydx6、 ,321)hv 4cos,4cos,4cosdsRQPdRQP )32(1)s( 2） ,22 zyxyxazx ,1zxhv,cos 22222 zyxzyxz。dsyxRQP22(7、设 下侧，则 构成闭曲面，于是：01:1z1，而 。1 32)2(dvzyx32,08、 ， 222coscosyxzyzxd，31coscos,1hv dszxyzy)22(3，dssx34)(4344yC91 解： 参数方程为:L,20)cos1(inthztayx 20 cosin)cos1()in( tathtattI2sin)(cosda另解：用 公式：tke， dsxyzyI )cos(co2 ，22,0cos,cs hahv)(22adhaI2、解： DD dxyyPxQI )3()( 2，20 22)1()1(3RrddR时)(,0I ,1062I2,1maxR3、解：平面 的法向量 ，1,hv则 ,31cos,cos,3csdszyxfyzxfxzyfI ),(31),(2),(1231)(3ddssxxyD