数学建模讲座叶其孝一个大学生如果具有良好的数学基础(素质),那么将来他(她)无论从事什么样的工作, 成功的机会都大.数学建模是用数学来解决各种实际问题的桥梁. 因此了解、掌握数学建模的思想和方法也是具有良好的数学基础(素质)的重要组成部分. “硬能力”很重要！“一位美国朋友谈及对未来中国人的看法: 20 年后, 中国年轻人会丢了中国人现在的硬能力, 他们崇拜各种明星, 不愿献身科学, 不再以学术研究为荣, 聪明拔尖的学生都去学金融、法律等赚钱的专业; 而美国人因为认识到其硬能力(例如数学)不行, 进行教育改革, 20 年后, 不但保持了其软实力即非专业能力的优势, 而且在硬能力上赶上中国人.”“正在丢失的硬实力”, 鲁 鸣, 青年文摘2011 年第 5 期 鲁鸣 : 社会心理学家、作家、花旗银行消费信用副总裁 . 自1992 年发表诗、散文和小说 300 多篇, 多次获文学奖. 著有文集缺少拥抱的中国人 、长篇小说背道而驰和诗集原始状态, 其中缺少拥抱的中国人和背道而驰已在北京出版. 新作中国年轻人的差距在哪里秋季将出版. 是美国青春校园电台实况节目的每月嘉宾, 美国网络电视鲁鸣开讲节目演讲者. 改变命运: 软实力 在竞争中胜出, 北京出版社, 2010. 什么是数学建模? Model n. 1. 模型 2. 设计, 型号 3. 模式 4. 模范 5. 模特儿11. 【逻辑学、数学】(用于分析、说明事物的)模型；模型(一个由假设、数据和推论组成的系统)vt. 塑造 爱词霸在线词典n. 11.【数】 【逻】(用作分析、阐明事物的 )模型：a macroeconomic 宏观经济模型; construct mathematical s to understand the nature of evolution 构建数学模型以理解进化的性质. vt. 6. 作出( 现象、系统等)的模型(通常指数学模型). Modeling = Modelling n. 1. 模型制造( 法 ); 塑像(术); 造型(术); 5. 【数】 【逻】模型设计: mathematical 数学模型设计. 英汉大词典(缩印本), 上海译文出版社 , 1991 第 1 版, 2001 第 10 次印刷, p. 1153. Mathematical Modeling 数学建模*数学模型(Mathematical Model)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程. 数学建模不仅是了解基本规律, 而且从应用的观点来看, 更重要的是预测和控制所建模系统行为的强有力工具.观察、分析实际问题抽象、简化，确定变量和参数 利用某种“定律”建立变量和参数 间的确定的关系(数学问题, 这个层次上的一个数学模型) 解析或“近似”地求解该数学问题（数学模型） 解释、验证、预测和发现新的现象 通不过通过 可应用该数学模型, 模拟(仿真) 甚至预测定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程 或者说, 数学建模的步骤为: 1.观察、分析实际问题 2.抽象、简化，确定变量和参数 3.利用某种“定律”建立变量和参数间的确定的关系(数学问题, 这个层次上的一个数学模型)4.解析或“近似”地求解该数学问题(数学模型)5.解释、验证、预测和发现新的现象 6.若能, 则可应用该数学模型, 模拟(仿真)甚至预测 若不能, 则回去检查各步骤是否有差错, 重头再 来. 简言之: 合理假设、数学问题、解释验证. 数学问题 = 建立数学模型 + 求解数学模型记住这 12 个字, 将会终生受用. 1.贷款问题 离散模型Springer 出版社 2008 年开始出版的Springer Undergraduate Mathematics and Technology(SUMAT)(“斯普林格大学生数学与技术”丛书). 其中第一本的书名就是译自法文版的Christiane Rousseau 和 Yvan Saint-Aubin 著的Mathematics and Technology (数学与技术) ，Springer | 2008-08-19 | ISBN: 0387692150 | 582 页. 其中第 5 章为：5. 储蓄和贷款 (Savings and Loans) 5.1 银行词汇; 5.2 复利; 5.3 储蓄计划; 5.4 借钱; 5.5 附录: 抵押支付表; 5.6 习题；参考文献预备知识: 等比数列求和公式 211 , 0,1nnn qSqqqL例 1. 某人想贷款买房, 借 200,000, 期限 20 年. 如果按当时的年利率 6.39%, 20 年后一次还清的话, 银行将按月利率 0.5325%的复利计算, 则要还 24020(1.53)7,1太多了, 怕还不起, 所以决定每个月还一点钱. 在“文曲星”电子词典(或类似的电子词典)中，打开其目录,在“计算”目录下有一项“贷款计算”，打开后有下列显示：贷款金额 200,000贷款年数 20年利率(%) 6.39%=0.0639 (月利率=6.39/12=0.5325%)如果是上述输入，按“输入”键，会见到如下“计算结果”每月应付款数(记为 x) 1478.22总还款额 354,773.41总利息 154,773.41问题: 用数学建模的方法来回答, 这是怎么算出来的. 假设: 月等额还款，20 年还请.提示:贷款模型是按月利率，按月计算的.用符号表示, 设一开始的贷款金额记为, 0(20,)A贷款年数记为 , (240)N月年利率记为 R = 0.0639, 月利率记为 r = R/12 = 0.005325. 变量为 .0,ANx数学模型的建立：确定变量以及变量之间的关系, 即数学模型的建立：这个月(记为第 n 个月)尚欠银行的款数记为 , 上个月(记为第 n - 1 个月)nA结余欠款记为 加上利息记为 ，减1n 1(nAr去这个月的还款 , 还欠 .x1()nrx所以, 数学模型的语言表述为: 这个月的欠款等于上个月欠款加上利息, 再减去这个月的(等额)还款; 一开始的借(欠) 款已知; 20 年必须还清. 用数学符号表示, 数学模型为: 1() 1,23,.0nnNArxnN表示 20 年 = 240 个月还清贷款. 240, A求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式. 数学模型的求解: 102102() ()(1) ArxrxrxA32203 20(1) 1()(1) (1)Arxrrxrx 容易观察出规律, 并用数学归纳法证明, 对于任何n 有 210(1)1()(1).()n nArxrrr 由等比级数部分和的求和公式( )y211(1)(.), ,1n nyyyy于是有 0 0(1) (1)(1) (1)n nn nn r rArxArx由于 , 即, ,0N0所以 0(1)NArx解释验证: 利用数学软件, 例如, Matlab, Mathematica 等可以用不同的数据代入此公式得到的结果和“文曲星”电子词典的结果比较, 它们是完全一致的. 从而可以断定“文曲星”用的就是这个数学模型. 4个变量中知道任何3个就可以求出另一个. 所以, 实际上有三个模型.2. 再论贷款问题 连续模型(微分方程) 模型, 连续模型和离散模型的关系预习：设 为随时间变化的距离函数，在时间间隔()st上的平均速度为,()()ststv若当 时平均速度的极限0,t,0()(limtstst存在，则称其为 时刻的瞬时速度，记为，即d()tvts0,()()(limtststvst也称为函数 的导数(或微商).()v函数乘积的求导法则: 设 都可导, 即)(fxg存在, 则f()()(fxgfx定积分: )(bxbaafdff 我们还是以贷款问题为例.假设: 月等额还款, N 个月还请.建立数学模型：假设一开始 的贷款(或借0t款)本金总额记为 , 单位时间(一期)的利率记为0Ar%, 只不过这时假设时间是连续的, 也就是说, 要把 n 个单位时间后所欠金额记为 改为 时nAt刻所欠金额 .单位时间里还固定的金额 ,()At x我们来建立模型, 在时间区间 上, ,tt时刻所欠金额为 , 时刻欠款tt()At为 , 因此在区间 里欠款的增加为 ()A,t,该时间区间里还款为 , 于是有rt xt()()()AttAtrtxt即 ()()()tttrAtx如果 的长度 越来越小, 并趋于零时, 即,ttt时, 就得到下列连续模型(微分方程模型)00)() t0()dAtrtx数学模型的求解：由 ()()dAtrtxt两边乘 , rte() ()rt rt rtdAteAxet 由乘积函数的导数公式 () ()()rtrt rt rtdAt deeeAxet 从 0 到 t 积分就得到()(0)(1)rt rtxeAe 解为 000()(1)(1)()rt rtrtrt rtrtxAteeexeexxAe连续模型和离散模型解之间的关系.如果设单位时间的长度为 1, 等于 个单位时间, tk即 , 由 的泰勒(Taylor) 级数表示, 有tkr00002()()1)! !rkrkn nk kAeAer 如果 比较小, 则可以认为有一次近似式r 0()(1)kAkr或由带Lagrange 余项的泰勒(Taylor)公式”, 2000 0()()()()2!ffxfxfxxx其中 在 和 之间.0若 ,则有0, , rrdexxr21!r ree由 00()()(1) (1)(1)1)kk kxxAkArrrxrrr若 ，即得到离散模型中的计算公, ()kNA式 0(1)NArx和 0(1)1NxrA连续模型中相应的公式分别由 0 0(1)()rNrNrNx xxAeeAe得到 0 (1)rNrAex 0 1rNreA若 ,则离散模型02,.532,40ArN算出的还款为 ; 而连续模型算出的还78x款为.6.cx最后, 我们来幽默轻松一下! 思考一下!也有人说数学不好不一定是缺点!http:/www.pharmnet.com.cn/health/2011/03/09/321844.html数学不好的 8 个好处