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奥赛培训讲义力物体的平衡1第 O 部分 绪言一、高中物理奥赛概况1、国际(International Physics Olympiad 简称 IPhO) 1967 年第一届, (波兰)华沙,只有五国参加。 几乎每年一届,参赛国逐年增加,每国代表不超过 5人。 中国参赛始于 1986年的第十七届,此后未间断,成绩一直辉煌。 1994 年第二十五届,首次在中国(北京)承办。 考试内容:笔试和试验各 5小时,分两天进行,满分各为 30分和 20分。成绩最佳者记 100% ,积分在 90%以上者获金奖,78%89 者获银奖,6577%者获铜奖。2、国家(Chinese Physics Olympiad 简称 CPhO)1984 年以前,中学物理竞赛经常举行,但被冠以各种名称,无论是组织,还是考纲、知识体系都谈不上规范。 1984 年开始第一届 CPhO,此后每学年举办一届。 初赛:每年九月第一个星期天考试。全国命题,各市、县组考,市统一阅卷,选前 30名(左右)参加(全省)复赛。复赛:九月下旬考试。全省命题,各省组织。理论考试前 20名参加试验考试,取理论、试验考试总分前 10名者参加省集训队。集训队成员经短期培训后推荐 37名参加(全国)决赛。决赛:全国统一组织。按成绩挑选 1525名参加国家集训队,到有关大学强化训练,最后从中选拔 5名优秀队员参加 IPhO 。 满分 140分。除初赛外,均含理论和试验两部分(试验满分 60分) 。3、湖南省奥赛简况 至 1998年,湖南选手获 CPhO决赛一等奖 29人次,占全国的 18.24% ;在 IPhO中获金牌 5枚、银牌 2枚、铜牌 2枚,居各省之首。 题型与风格:初赛第十一届(1992 年)开始统一,只有填空和计算。复赛第十三届(1994 年)开始统一,只有计算题六个,考试时量均为 3小时。二、知 识体系1、高中物理的三档要求:一般要求(会考)高考要求竞赛要求。竞赛知识的特点:初赛对高中物理基础融会贯通,更注重物理方法的运用;复赛知识点更多,对数学工具的运用更深入。2、教法贯彻 高一:针对“高考要求” ,进度尽量超前高一新课,知识点只做有限添加。目标瞄准初赛过关。 高二:针对“竞赛要求” ,瞄准复赛难度。高二知识一步到位,高一知识做短暂的回顾与加深。 复赛对象在约 15天的时间内模拟考试,进行考法训练。3、教材范本:龚霞玲主编奥林匹克物理思维训练教材 ,知识出版社,2002 年 8 月第一版。推荐典型参考书目 孙尚礼 毛 瑾主编高中物理奥林匹克基础知识及题解 (上、下册) ,科学技术出版社,1994年 10月第一版;奥赛培训讲义力物体的平衡2 张大同主编通向金牌之路 ,陕西师范大学出版社(版本逐年更新) ; 湖南省奥林匹克竞赛委员会物理分会编物理奥林匹克竞赛教程 ,湖南师范大学出版社,1993年 6月第一版; 湖南省奥林匹克委员会物理分会、湖南省物理奥林匹克培训基地编新编物理奥林匹克教程 ,湖南师范大学出版社,1999 年 5月第一版; 舒幼生主编奥林匹克物理 (分 1、2、3 多册出版) ,湖南教育出版社,第一册 1993年 8月第一版。第一部分 力物体的平衡第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法表达: + = 。avbc名词: 为“和矢量” 。法则:平行四边形法则。如图 1 所示。和矢量大小:c = ,其中 为 和cosab22 av的夹角。bv和矢量方向: 在 、 之间,和 夹角 = arcsincvabavcosab2in22、减法表达: = 。ac名词: 为“被减数矢量” , 为“减数矢量” , 为“差矢量” 。vbvav法则:三角形法则。如图 2 所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平移到一点,然后连接两时量末端,指向被减数时量的时量,即是差矢量。差矢量大小:a = ,其中 为 和 的夹角。cosb2 cvb差矢量的方向可以用正弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。例题:已知质点做匀速率圆周运动,半径为 R ,周期为 T ,求它在 T 内和在 T 内的平均加速412度大小。奥赛培训讲义力物体的平衡3解说:如图 3所示,A 到 B点对应 T 的过程,A 到 C 点对应 T 的过程。这三点的速度矢量分别4121设为 、 和 。vBC根据加速度的定义 = 得: = ,avt0ABavAt= ACavAt由于有两处涉及矢量减法,设两个差矢量 = 1vB, = ,根据三角形法则,它们在图 3 中Av2CvA的大小、方向已绘出( 的“三角形”已被拉伸成一条2直线) 。本题只关心各矢量的大小,显然:= = = ,且: = = , = 2 = AvBCTR1v2ATRvATR4所以: = = = , = = = 。ABa1tv4228ACa2t428(学生活动)观察与思考:这两个加速度是否相等,匀速率圆 周运动是不是匀变速运动?答:否;不是。3、乘法矢量的乘法有两种:叉乘和点乘,和代数的乘法有着质的不同。 叉乘表达: = avbc名词: 称“矢量的叉积” ,它是一个新的矢量。叉积的大小:c = absin,其中 为 和 的夹角。意义:avb的大小对应由 和 作成的平行四边形的面积。vavb叉积的方向:垂直 和 确定的平面,并由右手螺旋定则确定方向,如图 4 所示。显然, ,但有: = avbavbav 点乘奥赛培训讲义力物体的平衡4表达: = cavb名词:c 称“矢量的点积” ,它不再是一个矢量,而是一个标量。点积的大小:c = abcos,其中 为 和 的夹角。avb二、共点力的合成1、平行四边形法则与矢量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理(或分割成 Rt)解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要正交分解第二讲 物体的平衡一、共点力平衡1、特征:质心无加速度。2、条件: = 0 ,或 = 0 , = 0FvxyF例题:如图 5所示,长为 L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂,绳子与水平方向的夹角在图上已标示,求横杆的重心位置。解说:直接用三力共点的知识解题,几何关系比较简单。答案:距棒的左端 L/4处。(学生活动)思考:放在斜面上的均质长方体,按 实际情况分析受力,斜面的支持力会通过长方体的重心吗?解:将各处的支持力归纳成一个 N ,则长方体受三个力(G 、f 、N)必共点,由此推知,N 不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图 6 所示(通常的受力图是将受力物体看成一个点,这时, N 就过重心了)。答:不会。二、转动平衡1、特征:物体无转动加速度。2、条件: = 0 ,或 M + =M - Mv如果物体静止,肯定会同时满足两种平衡,因此用两种思路均可解题。3、非共点力的合成大小和方向:遵从一条直线矢量合成法则。作用点:先假定一个等效作用点,然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。第三讲 习题课奥赛培训讲义力物体的平衡51、如图 7所示,在固定的、倾角为 斜面上,有一块可以转动的夹板( 不定) ,夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑均质球体,试求: 取何值时,夹板对球的弹力最小。解说:法一,平行四边形动态处理。对球体进行受力分析,然后对平行四边形中的矢量 G和 N1进行平移,使它们构成一个三角形,如图8的左图和中图所示。由于 G的大小和方向均不变,而N1的方向不可变,当 增大导致 N2的方向改变时,N2的变化和 N1的方向变化如图 8 的右图所示。显然,随着 增大,N 1单调减小,而 N2的大小先减小后增大,当 N2垂直 N1时,N 2取极小值,且 N2min = Gsin。法二,函数法。看图 8 的中间图,对这个三角形用正弦定理,有:= ,即:N 2 = , 在 0 到 180之间取值,N 2的极值讨论是很容易的。sin2iGsin答案:当 = 90时,甲板的弹力最小。2、把一个重为 G 的物体用一个水平推力 F 压在竖直的足够高的墙壁上,F 随时间 t 的变化规律如图 9所示,则在 t = 0 开始物体所受的摩擦力 f 的变化图线是图 10 中的哪一个?解说:静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题,但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速,平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律,是本题授课时的难点。静力学的知识,本题在于区分两种摩擦的不同判据。水平方向合力为零,得:支持力 N持续增大。物体在运动时,滑动摩擦力 f = N ,必持续增大。但物体在静止后静摩擦力 f G ,与 N没有关系。对运动过程加以分析,物体必有加速和减速两个过程。据物理常识,加速时,f G ,而在减速时 f G 。答案:B 。奥赛培训讲义力物体的平衡63、如图 11所示,一个重量为 G的小球套在竖直放置的、半径为 R的光滑大环上,另一轻质弹簧的劲度系数为 k ,自由长度为 L(L2R) ,一端固定在大圆环的顶点 A ,另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的 B点。试求弹簧与竖直方向的夹角 。解说:平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论,解三角形的典型思路有三种:分割成直角三角形(或本来就是直角三角形) ;利用正、余弦定理; 利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。分析小球受力矢量平移,如图 12所示,其中 F表示弹簧弹力,N 表示大环的支持力。(学生活动)思考:支持力 N 可不可以沿 图 12 中的反方向?(正交分解看水平方向平衡不可以。 )容易判断,图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形 AOB是相似的,所以:RABGF由胡克定律:F = k( - R) 几何关系: = 2Rcos 解以上三式即可。答案:arccos 。)GkR(2L(学生活动)思考:若将弹簧换成劲度系数 k较大的弹簧,其它条件不变,则弹簧弹力怎么 变?环的支持力怎么变?答:变小;不变。(学生活动)反馈练习:光滑半球固定在水平面上,球心 O的正上方有一定滑轮,一根轻绳 跨过滑轮将一小球从图 13所示的 A 位置开始缓慢拉至 B 位置。试判断:在此过程中,绳子的拉力 T 和球面支持力 N 怎样变化?解:和上题完全相同。答:T 变小,N 不变。4、如图 14所示,一个半径为 R的非均质圆球,其重心不在球心 O点,先将它置于水平地面上,平衡时球面上的 A点和地面接触;再将它置于倾角为 30的粗糙斜面上,平衡时球面上的 B点与斜面接触,已知 A到 B的圆心角也为 30。试求球体的重心 C到球心 O的距离。解说:练习三力共点的应用。根据在平面上的平衡,可知重心 C在 OA连线上。根据在斜面上的平衡,支持力、重力和静摩擦力共点,可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。答案: R 。3(学生活动)反馈练习:静摩擦足够,将 长为 a 、厚为 b 的砖块码在倾角为 的斜面上,最多能 码多少 块?奥赛培训讲义力物体的平衡7解:三力共点知识应用。答: 。ctgba4、两根等长的细线,一端拴在同一悬点 O上,另一端各系一个小球,两球的质量分别为 m1和 m2 ,已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度,分别为 45和 30,如图 15所示。则 m1 : m2为多少?解说:本题考查正弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析,并进行矢量平移,如图 16所示。首先注意,图 16中的灰色三角形是等腰三角形,两底角相等,设为 。而且,两球相互作用的斥力方向相反,大小相等
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