2017 届高考数学三轮复习考点归纳：函数与导数 12017 届高考数学三轮复习考点归纳：函数与导数 11 理解函数定义时， 函数是非空数集到非空数集的映射，作为一个映射，就必须满足映射的条，只能一对一或者多对一，不能一对多定义域值域对应法则是决定函数的三要素定义域法则确定值域也就确定注意对应法则相同定义域不同的函数不是同一函数求函数的定义域，关键是依据含自变量 x 的代数式有意义列出相应的不等式(组) 求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应关系相同，括号里整体的取值范围就完全相同用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数，分段函数的值域是各段函数值域的并集求函数最值(值域)常用的方法：(1)单调性法：适合已知或能判断单调性的函数(2)图象法：适合已知或易作出图象的函数特别是二次函数在某个区间上的最值(3)基本不等式法：特别适合分式结构或两元的函数(4)导数法：适合可导函数() 换元法适应复合函数即先由定义域求出内函数的值域作为外函数的定义域再利用外函数的图像与性质求出外函数的值域特别注意新元的范围(6)分离常数法：适合于一次分式(7)有界函数法：适用于含有指、对函数或正、余弦函数的式子无论用什么方法求最值，都要考查“等号” 是否成立，特别是基本不等式法，并且要优先考虑定义域是奇函数对定义域内任意，都有对定义域内任意，都有图像关于原点对称；（2）是偶函数对定义域内任意，都有对定义域内任意，都有图像关于轴对称；（3）是偶函数对定义域内任意都有=的图象关于直线对称；（4）是奇函数对定义域内任意都有=的图象关于点对称；判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反(2)若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)=f(|x|)(3)若奇函数 f(x)的定义域中含有 0，则必有 f(0)0故“f(0)0” 是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条已知函数奇偶性求参数常用特值法，那么设，那么 在若，那么设，那么上是减函数求导法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则 为减函数性质法:如果函数和在相同区间上是单调函数,则（i）增函数+ 增函数是增函数； （ii）减函数+减函数是减函数；（iii）增函数-减函数是增函数； （iv）减函数-增函数是减函数；复合函数单调性:“同增异减”（2）已知含参数的可导函数在某个区间上单调递增（减）求参数范围，利用函数单调性与导数的关系，转化为在该区间上（）恒成立（且不恒为 0）问题，通过参变分离或分类讨论求出参数的范围，再验证参数取等号时是否符合题意（3）求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“” 和“或” 连接，可用“及” 连接，或用“， ”隔开单调区间必须是“区间” ，而不能用集合或不等式代替的图象的对称性结论若函数关于对称对定义域内任意都有=对定义域内任意都有=；函数关于点（，0）对定义域内任意都有=；若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴是；若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴中心为；函数关于对称10 两个函数对称的结论两个函数与 的图象关于直线对称函数与函数的图象关于直线(即轴)对称函数与函数的图象关于直线(即轴)对称。函数与函数的图象关于点（0,0） （即原点)对称。11函数的图象变换将函数图像的图象；将函数图像的图象；将函数图像的图象；将函数图像的图象；将函数图上的图象;将函数图上的图象在平移变换中要掌握“左加右减，加上减下” 的平移法则，平移单位是加在 x 上而不是加在 ax 上12 函数周期常见结论(约定0)（1）对定义域内任意都有，则的周期 T=；（2）对定义域内任意都有，或，或,则的周期 T=2；（3）若函数关于= ，= 对称，则的周期为；（4）若函数关于（，0） ， （，0）对称，则的周期为；（）若函数关于= ， （，0）对称，则的周期为13 二次函数(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法” ：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系(2)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bx(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2(a0)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(3)一元二次方程实根分布：先观察二次系数， 与 0 的关系，对称轴与区间关系及有穷区间端点函数值符号，再根据上述特征画出草图尤其注意若原题中没有指出是“二次” 方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形(2)指数函数定义域为 R，值域为（0，+） ，恒过（0,1） ，当 0a 1 时，是减函数；当 a1 时是增函数1 对数函数（1）会将对数式与指数式互化，掌握对数的运算法则和换底公式，熟记以下对数恒等式：，(2)对数函数定义域为（0，+ ） ，值域为 R，恒过（1,0） ，当0a1 时，是减函数；当 a1 时是增函数16 幂函数形如x(R)的函数为幂函数若 1，则x，图象是直线当 0 时，x0 1(x0)图象是除点(0,1)外的直线当 01 时，图象过(0,0)与(1,1)两点，在第一象限内是上凸的当 1 时，在第一象限内，图象是下凸的：当 0时，函数x 在区间 (0，)上是减函数函数与方程(1)对于函数f(x)，使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点函数f(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根(2)如果函数f(x)在区间a，b上的图象是一条连续曲线，且有 f(a)f(b)0，那么函数f(x)在区间内有零点，即存在，使得 f()0，此时这个就是方程 f(x)0 的根反之不成立化成，化为在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数（2）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，再求导函数，解导数大于0 的不等式，得到区间为增区间，解导数小于 0 得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数） （小于（减函数） ）0 恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条，若满足把取等号的情况加上，否则不加（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集21 函数的极值与导数（1）函数极值的概念设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数 的一个极大值，记作= ；设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数 的一个极小值，记作=注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，是局部性质；极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取得（2）函数极值与导数的关系当函数在处连续时，若在附近的左侧，右侧，那么是极大值；若在附近的左侧，右侧，那么是极小值注意：导数为 0 的点不一定是极值点，如函数，导数为，在处导数为 0，但不是极值点；极值点处的导数不一定为 0，如函数在的左侧是减函数，右侧是增函数，在处取极小值，但在处的左导数=-1，有导数=1，在处的导数不存在（3）函数的极值问题求函数的极值，先求导函数，令导函数为 0，求出导函数为零点， ，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点取得极大（小）值；已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点处的导数为 0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为 0 的必要不充分条，故需将参数代入检验在给定点处是否取极值；已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于 0，求出参数的范围22 函数的最值（1）最值的概念对函数有函数值使对定义域内任意，都有（）则称是函数的最大（小）值注意：若函数存在最大（小）值，则最值唯一；最值可以在端点处取得；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值（2）函数的最值求法：对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值和区间端点函数值，最大者为最大值，最小者为最小值；对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式（） （ 是自变量，是参数）恒成立问题，再利用（）转化为求函数的最值问题23 导数的综合问题（1）对不等式的证明问题，先根据题意构造函数，再利用导数研究函数的单调性与最值；（2）对含参数的恒成立问题、存在成立问题，常通过参变分离，转化为含参数部分大于另（小于）一端不含参数部分的最大值（最小值）问题，再利用导数研究函数的最值，若参变分离后不易求解，就要从分类讨论和放缩方面入手解决，注意恒成立与存在成立问题的区别26 定积分(科学生不要)（1）在理解定积分的概念时，注意定积分是一个实数，可以为正，可以为负数，也可以为 0，注意定积分与曲边梯形的面积的关系，当0 时，定积分是=，=，轴及曲线=围成的曲边梯形的面积(2)计算定积分的方法有两种：方法 1：利用被积函数的几何意义用几何法计算，注意定积分是整个曲线围成的区域还是其中的某一部分；方法 2：利用微积分基本定理计算，先利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则逆向求出，再微积分基本定理和积分运算性质求出定积分（3）利用定积分计算曲线围成的区域的面积的步骤：先画图形；确定积分区间和上、下边界表示的函数解析式：通过解方程求出交点的横坐标，从而确定积分区间，观察图形上、下边界是不是同一函数的图像，确定边界表示的函数解析式；面积表示：在每一个积分区间上，被积函数是图形上边界与下边界表示函数解析式的差，从而写出平面图形的定积分的表达式；求面积：求定积分进而求得图形的面积注意： 若图形上、下边界是不是同一函数的图像，则需要分成若干个积分区间1 【2017 东枣庄期末，3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A B D【答案】A【解析】由题意，得，解得，故选 A【要点回扣】函数的定义域2 【2017 广东郴州二模，7】已知函数是奇函数，当时， （且） ，且，则的值为（ ）A B 3 D9【答案】B【解析】因为，所以， ，又，所以，故选 B【要点回扣】1 函数的奇偶性；2函数的表示方法与求值3 【2017 广西柳州模拟，6】设， ，均为正数，且， ， ，则， ，的大小关系为（ ）AB D【答案】【解析】画图可得，选【要点回扣】利用函数的性质比较大小4 【2017 广西柳州模拟，12】设定义域为的函数若关于的方程有7 个不同的实数解，则（ ）A6B 4 或 66 或 2D2【答案】D【要点回扣】函数与方程设函数是 R 上的单调递减函数，则实数的取值范围为( )A B D 【答案】B【解析】函数是上的单调递减函数的充要条是解得：故选 B分段函数的单调性的图象关于轴对称，且对任意都有，若当时， ，则（ ）A B D4