高中数学竞赛专题训练平面几何第 0 页高中数学竞赛专题训练平面几何主讲人：凌 彬一、训练目标主要目标有两个：一是为 2010 年和 2011 年初赛和联赛做充分准备重点是 2011 年全国高中数学联赛，争取有同学进入省队参加 CMO（中国数学奥林匹克） ，同时照顾少数极有智力的同学参加 2010 年的全国高中数学联赛二是为部分同学备战 2012 年名牌大学自主招生考试二、大纲要求“全国高中数学联赛”要求全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高“全国高中数学联赛加试”要求全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容平面几何所增加的内容是：几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线几何中的变换：对称、平移、旋转几何不等式几何极值问题圆的幂和根轴面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法三、训练理念、能力是训练出来的 、心有多大舞台就有多大 、一切皆有可能abc四、训练要求凡参加竞赛训练的同学必须做到如下四条：1认真上好每一节课，除在讲义上做笔记外，应另有一个专用笔记本，将每节内容的重要知识和重点方法做整理，勤作归纳总结无特殊情况不允许缺席2每次上课后要认真进行消化，按时完成所布置的作业严禁抄袭或不缴作业3除上课外，每天应安排一定的时间复习和翻阅相关竞赛书籍，适当挑选一些题目练习4参加训练的同学要经常进行学习交流，取长补短，共同进步凡能认真遵守以上四条要求并取得较好成绩的同学推荐给学校予以公开表扬凡不能做到以上四条要求的，轻者公开批评并通报其班主任，重者劝其退出训练，并交给高中数学竞赛专题训练平面几何第 1 页其班主任进行思想教育第 1 讲 全等形与相似形班级 姓名_一、基本知识1全等三角形的判定与性质判定：边角边公理 SAS；角边角公理 ASA；角角边定理 AAS；边边边定理 SSS；如果三角形是直角三角形还可以用：斜边直角边定理 HL性质：全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、对应位置上的线段和角都相等2相似三角形的判定与性质判定： 一个角对应相等，并且夹这个角的两边对应成比例；两个角对应相等；三条边对应成比例；两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例性质：相似三角形的对应角相等；对应边的比、对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比以及周长的比都等于相似比；面积之比等于相似比的平方3常用方法论证的过程通常是：由待证明的等式反过来找相应的三角形，然后证明相应的三角形全等或相似而“相应的三角形”往往不是现成的，需要去构造，去作辅助线在竞赛中，连续多次证明全等或相似是常见的二、例题讲解例 1如图，点 C 是线段 AB 上一点， 和 是两个等边三角形，点 D、E 在 ABACDBE同旁，AE、BD 分别交 CD、CE 于 G、H ；求证： A高中数学竞赛专题训练平面几何第 2 页DG HEC BA例 2如图，在 的两边上分别截取 ，在 上截取 ，在 上截取 ，且ABAEAD使 ；试问： 与 的交点 是否在 的平分线上？DEDCEPE DPCBA例 3已知在等腰直角 中， 是直角， 是 上一点， ， 的延长线ABCDACEBDA交于 ，若 ，求证： 是 的中点BCFDF高中数学竞赛专题训练平面几何第 3 页EFDCBA例 4如图，已知在 中， ， 是 边上的中线， 是 的中线，ABC2ABDCAEBD求证： 2EE D CBA例 5如图，已知 中， 边上的高为 ，又 ，求证： ABCAD2BCDAB高中数学竞赛专题训练平面几何第 4 页D CBA例 6如图，四边形 的两组对边延长后分别相交于点 、 ，对角线 ，ABCDEFBDEFAC的延长线交 于 ，求证： EFGEFG FEDCBA高中数学竞赛专题训练平面几何第 5 页例 7在 中， ， ， 的平分线交 于 ，求证：ABCA10BACDDDCBA平面几何训练巩固练习一班级 姓名_1如图，在 中， ， ， ， ， ，ABC90ADBABEDCAF求证： 平分 F高中数学竞赛专题训练平面几何第 6 页EDFCBA2如图，从等腰直角 的直角顶点 向中线 引垂线，交 于点 ，交 于点 ，ABCBDABE连 ；求证： DEFDEFEDCBA3如图， 为 的角平分线， 为边 的中点，过 作直线平行于 ，分别交直ATBCMBCMAT线 、 于点 、 ，求证： EF1()2A高中数学竞赛专题训练平面几何第 7 页AB CEFT M4如图，设 、 为线段 上两点，且 ，点 为 外的动点，当点 运动到使PQBCPCQABA时， 是什么三角形？试证明你的结论BAAQP CBA