12015 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）参考公式：如果事件 ， 互斥，那么 ；ABPABPU如果事件 ， 相互独立，那么 ；柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面面积， 表示柱体的高；VShh锥体体积公式 ，其中 表示锥体的底面面积， 表示锥体的高13第卷（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 【2015 年天津，文 1】已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合1,234,678U2,35A1,346B（ ）UABI（A） （B） （C ） （D）3, 1,462,5【答案】B【解析】 ，所以 ，故选 B2,5U2,5UAI【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查（2） 【2015 年天津，文 2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为（ ）,xy208xy3zxy（A）7 （B）8 （C）9 （D）14【答案】C【解析】解法一：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分） ，由 得 ，3zxy3xz平移直线 ，由图像可知当直线 过点 时，3yxzyA的 3yxz截距最大，此时 最大由 ，解得 ，即 ，代入目208x23x,标函数 得 ，即目标函数的 的最大值为 9，故选 C3zxy39zzy解法二： ，当 时取得最大值 9，故选 C512xy,x【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法（3） 【2015 年天津，文 3】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为（ ）i（A）2 （B）3 （C）4 （D）5【答案】C【解析】由程序框图可知： ，故选 C2,8;3,S5;,1.iii【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的 ， 的值是解题的关键，iS属于基础题（4） 【2015 年天津，文 4】设 ，则“ ”是“ ”的（ ）xR12xBF离心率为 5（）求直线 的斜率；BF（）设直线 与椭圆交于点 （ 异于点 ） ，故点 且垂直于 的直线与椭圆交于点 （ 异于PBBFQ点 ）直线 与 轴交于点 ， QxM|=|Ql（i）求 的值；l（ii）若 ，求椭圆的方程75|sin=9PB解：（） ，由已知 及 ，可得 ，,0Fcca22bc5,2acb又因为 ，故直线 的斜率 ,bF0k（）设点 ，,PQMxyxy（i）由（）可得椭圆方程为 ，直线 的方程为 ，两方程联立消去 得：2154cBF2yxcy，解得 因为 ，所以直线 ，方程为 ，与椭圆方2350xc3PxQPQ12yxc程联立消去 得 ，解得 又因为 ，及 得y210021cxPM078MPQQx（ii）由（i）得 ，所以 ，即 ，又因为7815PMQ157PQ，所以 = 又因为75|sin=9PB=|sinB|sin3B=，423yxc所以 ，因此 ， ，2254503c53c1所以椭圆方程为 21xy【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题（20） 【2015 年天津，文 20】 （本题满分 14 分）已知函数 4(),fxxR=-（）求 的单调性；()fx（）设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线方程为 ，求证：对于任意()yf=xP()ygx=的正实数 ，都有 ；()g（）若关于 的方程 （ 为实数）有两个正实根 ，求证： xfxa12x，13214ax-+解：（）由 ，可得 ，当 ，即 时，函数 单调递增；当 ，4()f=-3()4x=-0ff 0fx即 时，函数 单调递减所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间1xfx ,7是 1,（）设 ，则 ， ，曲线 在点 处的切线方程为 ，0,Px1304012fxyfxP00yfx，令 ， ，则gfxFfg0Ffx0Fxf由于 在 单调递减,故 在 单调递减,又因为 ，所以当3()f=-x0Fx时， ，所以当 时， ，所以 在 单调递增，在0,x0x0,0,0,x单调递减，所以对任意的实数 ， ，对于任意的正实数 ，都有 0Fxx()fg（）由（）知 ，设方程 的根为 ，可得 因为 在13()2(4)gx()ga2x 1324ax单调递减又由（）知 ，所以 类似的，设曲线, 22fg2在原点处的切线为 ，可得 ，对于任意的 ，有yfyhx4,x，即 设方程 的根为 ，可得 因为 在40xhxfhxa114a4hx单调递增， 因此 ，所以 ,111ax11322x【评析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题