姓名 * 学院 数信学院 班级 * 学号 *实验题目 数列与级数 评分实验目的：1、通过使用编程复习并巩固以前学过的数列与级数的知识； 2、通过编程演示 Fabonacci 数列、调和级数以及 3n+1 问题的函数图象及函数关系式；3、通过图示的方法发现数列与级数的规律及其极限行为，并体会数列与级数在理论与实际应用中的差距；4、通过上机来增强自己的动手能力及实践创新能力。实验环境：学校机房，Mathematica4.0 软件实验基本理论和方法：1、Mathematica中常用的函数及函数调用的方法；2、对Fabonacci数列、调和级数以及3n+1问题规律的掌握。实验内容和步骤：给定如下的数列1,235,81,4589,.其特征为，从第三项开始，每一项等于前两项的和，这个数列就叫做 Fibonacci 数列.1为研究 Fibonacci 数列的规律，我们在二维平面上画出顺次连接点列( n,fn)的折线图。并对 n 分别取不同的值 50、100、500、1000，来观察 Fibonacci 数列的折线图，也可以看出其随 n 的变化规律。程序运行如下：可以看出， Fibonacci 数列的变化速度非常快，且单调递增趋于无穷；从图象中也可明显看出 n 取值越大，图像越陡，即递增越快。事实上，由 Fibonacci 数列的递推关系式， （1）2112,.,nnFF容易得到（2）12113/ ,nnn因此， 的阶应该在 与 之间。为进一步研究 Fibonacci 数列 的特性，我nF/2n nF们将 取对数，在直角坐标系中画出顺次连接点 的折线图。此,log,.nFN时的折线图近乎于一条直线。因此，我们猜测 是 的线性函数。取 ，10对上述数据进行拟合可得， （3）log0.839.412nFn故. （4）.4756.nn2.下面，我们分别取 ，利用 Mathematica 编程，用直线去拟合0,1,0上述数据 ，由此来求数列 的近似表示。过程如下：,log,2.nFNnF可以看出，给定的 值越大，线性拟合的结果便趋于稳定，而且，对每一组拟合的线性n方程，其系数与黄金分割数有着紧密的联系。由计算机观察得到的上述结果我们似乎可以猜测数列 的通项具有形式nF （5）nFcr将上式代入递推公式（1）得（6）21从而 .因为数列趋于无穷，故取 。于是5/2r5/2r（7）2nnFc然而，公式（7）并不满足 ，即并非数列 的通项公式.不过，它仍然是数列12nF的主项.nF3.取一组整数 ，将 Fibonacci 数列模 n 得到一周期50,05,1n数列，将该周期数列的值作为高音，编程演奏它.运行结果如下：根据运行结果，明显可以看出，n 的取值越大，图像上的点越稠密.实验结果和结果分析：附录：