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第一节 概率论的基本概念随机试验三个特点:1. 试验的可重复性2. 一次试验结果的随机性。3. 全部试验结果的可知性具有以上三个特点的试验称之为随机试验,简称试验。样本点:随机试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点, 用 表示 样本空间:将随机试验 E的所有可能出现的结果组成的集合称为 E的样本空间,记 样本空间的元素,即 E的每个结果,称为样本点1. 基本事件:由一个样本点组成的单点集。2. 必然事件:样本空间 包含所有的样本点,它是 自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件。3. 不可能事件:空集 不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,在每次试验中,称为不可能事件。事件间的关系与运算:1. 事件的包含与相等若 ,,A 发生必然导致事件 B发生。AB若 且 ,即 A=B。2. 和事件( )A.B至少有一个发生。记 或 A+B.A1) 2)若,B,AB3. 积事件( )AA,B同时发生时。记 或 AB。1) 2)若,B,4. 差事件(A-B)当 A发生、B 不发生,记 。AB1) 2)若,没有包含关系也可以作差运算。5. 互不相容(互斥) A B不能同时发生。即 6. 对立事件(逆事件) 且ABA的不发生为 的对立事件。 (补集)A,B发生,但只能有一个发生,且 A.B互不相容,即 且 AB1) 2) 3) ,A注:对立: 且BA互斥: 如果: 只有他们都是不可能事件(对立事件)时,才相等,所以也互逆A运算律:设 为事件,则有,BCa) 交换律: ;.BABb) 结合律: ()();C()().ABCc) 分配律: ()ABC.d) 对偶律: ,A,()ABB第二节 频率与概率1.频率: nf1.0 1(非负性)nfA2. 1,0nnff若 是两两互不相容的事件,则.B ()nnnfABffB同理: ( )= ( )+ ( )=nf12Akf1fk1kA概率:P(A)1. 0 1 非负性P2. 规范性(必然事件 1,不可能事件 0)1,0( )由概率的信息推不出事件的关系。APc) ( = (两两互斥事件和事件的概率等于事件概率的12.)11()()mkkPA和)其它性质:1. 减法公式: ()()BBPA若 ,则有 ,A()PB2. 逆事件: ()1()P3. 加法公式: ()BAPB三个事件的情况: ()()()()CCPACPBAC古典概型(等可能概型)两个特点:1. 基本事件的总数是有限的。 (样本空间仅含有有限个样本点)2. 试验中每个基本事件发生的可能性相同计算公式:即:()中 样 本 点 数中 样 本 点 总 数rAPn()中 所 包 含 的 基 本 事 件 数基 本 事 件 总 数rAPn当以不放回抽样一次取一个,一共取次时,所求到的概率和以一次性抽个,所求的概率相等。所以,可近似的把一次取次当当作一次取一个取次的概率来计算。古典概型的性质:1. 0 1PA2. 1,03. 当 A.B互不相容时, PABP是一系列互不相容的事件,有12.nA 12 2. .n nAPAPA第三节 条件概率设 A,B是两个事件,且 P(A)0, 为在事件 A发生的条件下事件 B发生的()()PBA条件概率.变形可推乘法公式: ()(),0)PABPB可推 N个事件的情况:设 ,则:()0PAB()()()CCA设 ,则:CPABPB设 ,则:()0()()()条件概率 P(A)的性质:1.非负性:P(BA)02.规范性:对于必然事件 S,有 P(BA)=13.设 是两两互不相容的事件,则有 12,B 1(iPB1)(iiAPB)A性质:1.0()1PA2. ()3. ()1()PBA4. 121212()()PBA2.全概率公式(逆概公式):设 是满足以下条件12.nA1) 互不相容 , 且 ,12.n()01,2)i n2) ,则 至少有一个发生,则称 为样本空间的12.nA12.nA12.nA一个划分。当 的一个划分时,每次试验有且只有其中一个事件发生。12.是n全概率公式: 1()()iiiPBPB注意:当 , 。0A与 就 是 的 一 个 划 分全概率公式的最简单形式为: ()()()APBA用全概率公式情形:若试验可以看成分两个阶段完成,第一阶段的具体结果未知,但所有可能结果已知,现求第二个某结果发生的概率用全概率公式。完全事件组:第一个阶段的所有可能结果。贝叶斯公式:设 是样本空间的一个划分,B 是任意一事件,且 ,则: 12.nA ()0PB1()()() )乘 法 公 式全 概 率 公 式iiii niiiPPAB注;若第二个的某个结果已知,现求它是由第一个概率结果引起的概率用贝叶斯公式。第四节 事件的独立性若这 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A,B相互独立,简称 A,B独立性质 1:设 P(A)0,则 A,B相互独立的充分必要条件是,则 P(BA)=P(B)设 P(B)0,则 A,B相互独立的充分必要条件是,则 P(AB)=P(A)性质 2:若事件 A与 B相互独立,则:A 与 , 与 B, 与 也相互独立。BAB(三事件两两独立, )()(),(),()()PABPCPC(三事件相互独立, ), ,()()(C如果 A,B,C相互独立,一定两两独立.两两独立不一定相互独立。 事件的独立性:独立:P(AB)=P(A)P(B) 0 互斥:P(AB)=0 A,独立一定不互斥、 、A,互斥一定不独立与任何事件独立的情况有:1.必然事件( ) 、不可能事件( )与任何事件都独立. 1AB2.只要满足:P(A)=0 或 P(A)1 时,A 与任何事件都独立。三个事件可两两独立,但不能得出相互独立。若 ,事件 A,独立与下列条件等价:0()1PA)()()B3.贝努利概型:只有两个结果独立的重复进行 N次。定理:在 n重贝努利试验中,设每次试验中事件 A的概率为 p( ),则称事件 A恰01p好发生 K次的概率: ()(1),0.12knknnPCpnN次实验中恰有 K次发生,相当于 N个位置选出 K个,在这个 K个位置处 A发生,得到种选法,且 个事件互不相容,这 个事件的概率都是 。knCkn kn (1)knkp重要知识点:ABC仅 A发生的概率: ()PABCABC都发生的概率: (或都不发生: )()()PABCAB发生,C 不发生: ()AB至少有一个发生,C 不发生: ()ABC至少有一个发生的概率: ()()()()()PABCPBCABPCAPBCABC一个都不发生的概率: ()1ABC恰有一个发生的概率: ()()DABC最多有一个发生的概率: ()1()()PABCPABCP
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