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1.1. 变化率与导数,教学目标,了解导数概念的实际背景,体会导数的思想及其内涵;了解函数的平均变化率; 教学重点:函数的平均变化率;导数概念的实际背景,导数的思想及其内涵;,一、变化率问题,研究某个变量相对于另一个变量变化,导数研究的问题,的快慢程度,变化率问题,微积分主要与四类问题的处理相关:,一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。,变化率问题,问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是,如果将半径r表示为体积V的函数,那么,我们来分析一下:,当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为,显然0.620.16,思考?,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?,请计算,请计算,h(t)=-4.9t2+6.5t+10,平均变化率定义:,若设x=x2-x1, f=f(x2)-f(x1) 则平均变化率为,这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2同样f=y=f(x2)-f(x1),上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率,思考?,观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率,做两个题吧!,1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+x,练习:,2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.,A,小结:,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率,练习:,过曲线y=f(x)=x3上两点P(1,1)和Q (1+x,1+y)作曲线的割线,求出当x=0.1时割线的斜率.,二、导数的概念,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:米)与起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?,瞬时速度.,在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.,又如何求瞬时速度呢?,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,如何求(比如, t=2时的)瞬时速度?通过列表看出平均速度的变化趋势:,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,瞬时速度,我们用 表示 “当t=2, t趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.,那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?,局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过,取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,导数的定义:,从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:,问题:,求函数y=3x2在x=1处的导数.分析:先求f=y=f(x)-f() =6x+(x)2 再求再求,应用:,例1 物体作自由落体运动,运动方程为: 其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求: (1) 物体在时间区间2,2.1上的平均速度; (2) 物体在时间区间2,2.01上的平均速度; (3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.,分析:,解:,(1)将 t=0.1代入上式,得:,(2)将 t=0.01代入上式,得:,应用:,例2 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x2-7x+15(0x8).计算第2(h) 和第6(h)时,原由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。,关键是求出:,它说明在第2(h)附近,原油温度大约以3 0C/h的速度下降;在第6(h)附近,原油温度大约以5 0C/H的速度上升。,应用:,例3质量为kg的物体,按照s(t)=3t2+t+4的规律做直线运动,()求运动开始后s时物体的瞬时速度;()求运动开始后s时物体的动能。,小结:,1求物体运动的瞬时速度:(1)求位移增量s=s(t+t)-s(t) (2)求平均速度(3)求极限,1由导数的定义可得求导数的一般步骤:(1)求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0) (2)求平均变化率(3)求极限,练习:,(1)求函数y= 在x=1处的导数.(2)求函数y= 的导数.,三、导数的几何意义,平均变化率,函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:,割线的斜率,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:,我们称它为函数y=f(x),在x=x0处的导数,记作f (x0)或y|xx0即,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,回顾,应用:,例1 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热。如果第 x(h)时,原油的温度(单位:0C)为 f(x)=x2-7x+15(0x8).计算第2(h) 和第6(h)时,原由温度的瞬时变化率,并说明它们的意义。,关键是求出:,它说明在第2(h)附近,原油温度大约以3 0C/h的速度下降;在第6(h)附近,原油温度大约以5 0C/H的速度上升。,P,Q,割线,切线,T,导数的几何意义:,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,要注意,曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关; 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;利用切线斜率的定义求 出切线的斜率;利用点斜式求切线方程.,练习:如图已知曲线 ,求:(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,在不致发生混淆时,导函数也简称导数,函数导函数,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,如何求函数y=f(x)的导数?,看一个例子:,下面把前面知识小结:,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念,要从它的几何意义和物 理意义认识这一概念的实质,学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤:(1)求函数的增 量;(2)求平均变化率;(3)取极限,得导数。,(3)函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值,即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。,小结:,(2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 。,(1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。,c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。,(1)求出函数在点x0处的变化率 ,得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即,求切线方程的步骤:,小结:,无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想,丢掉极限思想就无法理解导 数概念。,再见,
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