1专题能力训练 7三角恒等变换与解三角形(时间:60 分钟满分:100 分)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)1.已知 sin - cos = ,则 sin 2= ( )A.- B.-C. D.2.函数 y=sin x(cos x-sin x),xR 的值域是( )A.B.C.D.3.(2017 浙江绍兴二模)设角 A,B,C 是 ABC 的三个内角,则“ A+B,故三角形 ABC 为钝角三角形,反之不成立 .故选 A.4.B 解析 依题意得 cos C=,C=60,因此 ABC 的面积等于 absin C=.故选 B.5.C 解析 sin + 2cos = , (sin + 2cos )2=,即 sin2+ 4sin cos + 4cos2= ,可得,解得 tan = 3.故 tan 2=-.6.B 解析 依题意可得 AD=20,AC=30.又 CD=50,所以在 ACD 中,由余弦定理得 cos CAD=.又 0 CAD180,所以 CAD=45.所以从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45.7.C 解析 , 均为锐角, -.又 sin(- )=-, cos(- )=.又 sin = , cos = , sin = sin- (- )=sin cos(- )-cos sin(- )=.=.8.A 解析 因为 B=2A,所以 sin B=sin 2A,所以 sin B=2sin Acos A,所以 b=2acos A,又因为 a=1,所以 b=2cos A.因为 ABC 为锐角三角形,所以 0A,0B,0C,即 0A,02A,0 -A-2A,所以 A,所以 cos A,所以 2cos A,所以 b() .9. 解析 由 tan =2,得 sin =2cos .又 sin2 +cos2 =1,所以 cos2 =.因为 ,所以 cos =,sin =.因为 cos=cos cos+sin sin,所以 cos.10. 解析 sin BAC=sin(90+ BAD)=cos BAD=, 在 ABD 中,有 BD2=AB2+AD2-42ABADcos BAD,BD 2=18+9-233=3,BD=.11. 解析 =.12.3 解析 根据正弦定理, =2R=4,解得 sin A=.若 ABC 的面积最大,即角 A 为锐角,则 A=60,根据余弦定理, a2=b2+c2-2bccos A,代入得到 12=b2+c2-bc bc,即 bc 的最大值为12,所以 ABC 面积的最大值为 S=bcsin A=12=3.13. 解析 依条件有 acos C+ccos A=2bcos B,由正弦定理得 sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,即 sin(A+C)=2sin Bcos B,则有 sin B=2sin Bcos B,由 sin B0,得 cos B=,又 B(0,),故 B=.由余弦定理得 a2+c2-ac=3,即( a+c)2-3ac=3,所以 ac=2,则 SABC=acsin B=.14. 解析 在 ABC 中, acos B=bcos A, sin Acos B=sin Bcos A, sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0,A=B ,a=b ;又 ABC 的面积为 S=absin C,且 4S=2a2-c2, 2absin C=2a2-c2=a2+b2-c2, sin C=cos C,C=.15.解 (1)由题意,知 OA=OM=1.S OAM=,且 为锐角, sin = ,cos =.又点 B 的纵坐标是, sin = ,cos =- , cos(- )=cos cos + sin sin =-.(2) cos 2= 2cos2- 1=2-1=-,sin 2= 2sin cos = 2, 2 . , 2- . sin(2- )=sin 2 cos + cos 2 sin =- , 2 - =-.16.解 (1)由 tan A+tan C=可得, cos C=. 0C, C=.b= sin B, 由正弦定理可得,c=.(2)由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos C,=a 2+b2-ab2 ab-ab=ab,当且仅当 a=b 时取等号 .S ABC=absin C=ab,故 ABC 面积的最大值为 .