1专题十四计数原理数学试卷考试范围：xxx；考试时间：100 分钟；命题人：xxx学校：_姓名：_班级：_考号：_题号 一 二 三 总分得分注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第 1 卷评卷人 得分一、选择题1、将编号为 1,2,3,4,5,6 的六个小球放入编号为 1,2,3,4,5,6 的六个盒子,每个盒子放一个小球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同,则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1002、如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆 2 个,一堆 3 个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同的取法的种数是( )A.6B.10C.12D.243、春天来了,某学校组织学生外出踏青。4 位男生和 3 位女生站成一排合影留念,男生甲和乙要求站在一起,3 位女生不全站在一起,则不同的站法种数是( )A.964B.1080C.1152D.129624、安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有( )A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种5、甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是 0、0、2、1、5,为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为( )A.5B.24C.32D.646、5 名学生进行知识竞赛.笔试结束后,甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“你们 5 人的成绩互不相同,很遗憾,你的成绩不是最好的”;对乙说:“你不是最后一名”.根据以上信息,这 5 人的笔试名次的所有可能的种数是( )A.54B.72C.78D.967、 展开式中 的系数为( )A.15B.20C.30D.358、若 ,且 ,则 等于( )A.B.C.3D.9、二项式 的展开式的二项式系数和为( )A.B.C.D.10、在 的展开式中, 项的系数为( )A.-4B.-2C.2D.411、 的展开式中,系数最小的项为( )A.第 6 项B.第 7 项C.第 8 项D.第 9 项12、中国南北朝时期的著作孙子算经中,对同余除法有较深的研究.设为整数,若 和 被 除得的余数相同,则称 和 对模 同余,记为.若 ,则 的值可以是( )A.2011B.2012C.2013D.2014评卷人 得分二、填空题13、用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答)414、把编号为 1,2,3,4,5,6,7 的 7 张电影票分给甲、乙、丙、丁、戊五个人,每人至少一张,至多分两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同分法种数为 .15、已知 的展开式中含有 项的系数是 54,则 .16、在 的展开式中,常数项为 .评卷人 得分三、解答题17、已知 .1.若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;2.若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.18、用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数.1.可以组成多少个不同的四位数?2.若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则这样的四位数有多少个?3.将 1 中的四位数按从小到大的顺序排成一数列,问第 85 项是什么?19、(用数字作答)从 5 本不同的故事书和 4 本不同的数学书中选出 4 本,送给 4 位同学,每人 1 本,问:1.如果故事书和数学书各选 2 本,共有多少种不同的送法?2.如果故事书甲和数学书乙必须送出,共有多少种不同的送法?3.如果选出的 4 本书中至少有 3 本故事书,共有多少种不同的送法?20、4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内.1.恰有 1 个盒不放球,共有几种放法?2.恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法?3.恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?21、已知 展开式的二项式系数和为 512,且.1.求 的值;2.求 的值;3.求 被 6 整除的余数.522、在 的展开式中.1.求二项式系数最大的项;2.求系数的绝对值最大的项;3.求系数最小的项.参考答案：一、选择题1.答案： A解析： 三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 2 种,由排列组合的知识可得,不同的放法总数是: 种.2.答案： B解析： 将左边的集装箱从上往下分别记为 1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为 4,5.分两种情况讨论:若先取 1,则有 12345,12453,14523,14235,14523,12435,共 6 种情况;若先取4,则有 45123,41235,41523,41253,共 4 种情况,故共有 种情况.3.答案： C解析：男生甲和乙要求站在一起共有 种,其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有 种,符合题意的站法共有 种.64.答案： D解析： 由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三份:有 种方法,然后进行全排列 即可,由乘法原理,不同的安排方式共有种方法。故选 D。5.答案： D解析： 5 日至 9 日,分别为 5,6,7,8,9,有 3 天奇数日,2 天偶数日,第一步安排奇数日出行,每天都有 2 种选择,共有 种,第一步安排偶数日出行分两类,第一类,先选 1 天安排甲的车,另外一天安排其他车,有 种,第二类,不安排甲的车,每天都有 2 种选择,共有 种,共计 ,根据分布计数原理,不同的用车方案种数共有.故选 D.6.答案： C解析： 由题得甲不是第一,乙不是最后,先排乙,乙得第一,有 种,乙没得第一有3 种再排甲也有 3 种,余下得有 种,故有 种,所以一共有种。7.答案： C解析： 因为 ,则 展7开式中含 的项为 , 展开式中含 的项为,故 前系数为 ,选 C.8.答案： B解析： ,故选 B.9.答案： C解析： 由二项式系数和的性质可知,展开式的二项式系数和为.10.答案： D解析： 因为,所以 的展开式中, 项的系数为 ,故选 D.811.答案： C解析： 由题设可知展开式中的通项公式为 ,其系数为 ,当 为奇数时展开式中项的系数 最小,则 ,即第 8 项的系数最小,应选答案 C。12.答案： A解析： 因为,所以 被 10 除得的余数为 1,而 2011 被 10 除得的余数是 1,故选 A.二、填空题13.答案： 1080解析： 14.答案： 1200解析： 15.答案： 49解析： 由二项式定理的通项公式 ,令 得:,解得 .16.答案： -5解析： 由二项展开式的通项公式得: ,显然时可能有常数项,当 时, ,有常数项,当 , 的展开式中含 ,故常数项为,当 ,常数项为 ,所以展开式中的常数项.三、解答题17.答案： 1.通项 ,(此题可以用组合数表示结果)由题意知 成等差数列, , 或 .当 时,第 8 项的二项式系数最大,该项的系数为 ;当 时,第 4、5 项的二项式系数相等且最大,其系数分别为 ,.102.由题意知 , 或 (舍). . 由 得 . .展开式中系数最大的项为 .18.答案： 1.2.3.千位是 1 的四位数有 个,千位是 2,百位是 0 或者 1 的四位数有 个,则第 85 项是 2301.19.答案： 1.共有 种不同的送法2.共有 种不同的送法3.共有 种不同的送法20.答案： 1.为保证“恰有 1 个盒不放球”,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组,然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另外 2 个盒子内,由分步计数原理,共有(种)2.“恰有 1 个盒内有 2 个球”,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也即另外3 个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球”是同一件事,所以共有 144 种放法.113.确定 2 个空盒有 种方法.4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1),(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 种方法;第二类有序均匀分组有 种方法,故共有(种)放法.21.答案： 1.由二项式系数和为 512 知, ,所以 .2.令 ,令 ,得 ,所以.3.,因为 能被 6 整除,所以-19 被 6 整除后余数为 5.22.答案： 1. .2. ,故系数的绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项.12,.系数的绝对值最大的项是第 7 项.3.系数最小的项为第 6 项 .