矩阵对角化方法的研究目 录摘要 .IAbstract .II第一章 绪论 .11.1 引言 .11.2 预备知识 .11.2.1 可对角化概念及判断是否可对角化相关知识： .11.2.2 相关结论知识： .2第二章 矩阵对角化方法探究 .52.1 矩阵对角化的方法 .52.1.1 一般矩阵的 3 种对角化方法 .52.1.2 实对称矩阵的对角化 .10第三章 运用 .143.1 已知特征值和特征向量，求原矩阵 .143.2 计算方阵的高次幂 .14参考文献: .17致谢 .18.矩阵对角化方法的研究I矩阵对角化方法的研究学生：胡邦群 指导教师：何聪教师摘要 对角矩阵是矩阵中形式最为简单但其地位却十分重要，因此对矩阵对角化问题的研究很有价值。本文主要介绍了对于一般矩阵的 3 种对角化方法并对实对称矩阵的对角化方法以及对角矩阵的运用做了相关补充，同时配例题加以阐述。关键词: 特征值；特征向量；可对角化；矩阵初等变化；正交变换；线性无关矩阵对角化方法的研究IISTUDY OF MATRIX DIAGONALIZATION METHODStudent: Hu Bangqun Supervisor: He CongAbstract Diagonal matrix is the matrix form of the most simple ,but its position is very important. So the study torque Angle problem are valuable. This paper mainly introduces the three methods and the general matrix of real symmetric matrices diagonalization method as well as the application of diagonal matrix made relevant supplement, at the same time are discussed with examples.Keywords: The characteristic value; The feature vectors; Can diagonalization; Matrix elementary change; Orthogonal transformation; Linearly independent矩阵对角化方法的研究1第一章 绪论1.1 引言 对角矩阵在矩阵理论意义非凡，因而探究矩阵对角化方法很有实用价值。主要表现在：利用合同关系化解二次型矩阵以及在不同基下矩阵具有相似的特征。基于这些知识我们可以很方便求矩阵的方幂，方阵的逆和行列式等问题，再者，我们知道在复数域 C 上矩阵一定与上（下）三角阵（若尔当矩阵）相似，但仅在某种特定的条件下才可相似于对角阵。本文着重介绍一般矩阵对角化的三种方法：一、利用特征值和特征向量将矩阵对角化，二、利用矩阵的初等变换将矩阵对角化，三、利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化。然后又对实对称矩阵的对角化方法作了补充，并对对角矩阵的运用作了适当阐述，同时用例子加以说明。1.2 预备知识为了更加严密的阐述本文，特此摘录了相关定义、定理、结论：1.2.1 可对角化概念及判断是否可对角化相关知识：对角矩阵：是一个主对角线之外的元素皆为零的矩阵，对角线上的元素可以为零或其值。定义 1：设 ，若存在 的一组基使得 在这组基下的矩阵0nFVLFVn为对角矩阵，那么我们就说 是一个可对角化的线性变换。以上定义等价于:定义 2 设 ，若存在一可逆矩阵 使得0MAn T那么就说 是一个可对角化矩阵。ndiagAT,.11特别说明:若令 ，那么定义 2 中的式子等价于,.2niA diagTdiagi nnnn,.1, ,.,.,., 211121 矩阵对角化方法的研究2即:可逆矩阵 使得第 列 是矩阵 的属于特征值 的特征向量。TiiAi性质定理: 设 那么FMAnFVLn,0定理 1 若 或 在数域 中有 个互异的特征值，那么 或 可对角化。A定理 2 或 可对角化的充要条件为当 或 有 个线性无关的特征向量。An定理 3 或 可对角化的充要条件为当任意特征值 ，特征根 的几何重数等于F其对应的代数重数，即 的重数。Vdim定理 4 或 可对角化的充要条件为当 或 的最小多项式没有重根。A定理 5 或 可对角化的充要条件为当 其中tVV.21是 或 的互异的特征值。t,.21定理 6 或 可对角化的充要条件是当对任意 ，有秩 的重AFnAIn)(数。定理 7 矩阵 可对角化的充要条件为 的不变因子没有重根。A定理 8 矩阵 可对角化的充要条件为 的初等因子全为一次。1.2.2 相关结论知识：结论 1. 对于任一个 阶实对称矩阵 ，一定存在 阶正交矩阵 使得 为对角nAnTA1矩阵。证明：对阶数 作数学归纳法。当 时显然成立。1n假设当取 阶实对称矩阵 成立，即存在 阶正交矩阵 使得 表示B1n1T1 ,B对角矩阵， n 321O再证明 阶实对称矩阵也成立矩阵对角化方法的研究3设 是 的一个特征值， 是属于 的特征向量，那么 由于特征1A111A向量的倍数任为特征向量，故可设 为单位向量，再将其扩充为 上一组标准正交nR基 ，以 为第一列，以这 个正交单位向量为 列构成一个正交矩阵，其n,.211n中 不一定为 的特征向量，于是有 及AnT,.212因为 为正交矩阵，所以有 ，且 为标nAT,. ,.2122 T21n,.21准正交向量组，于是 01, , 12121121212 MMnnTTnTT第一列为 因此可得01M0B 12121LAT由 ，又 为实对称矩阵 所以有T21 1T得 为对称矩阵，于是222)( AATT2为 阶实对称矩阵，而由归纳假设知存在 阶正交矩0B 121ML1n 1n阵 使得1T1n321 O不妨令 易得 ，即 是正交矩阵，且有12T 0nTE矩阵对角化方法的研究4n21111112112121 0T 0 T B 0T 0 T OAAT其中 为 的特征值。证毕1,.iA结论 2 若 是实对称矩阵,则 的特征值都是实数,且 的不同特征值的特征向量相互正交.AA结论 3.若 为 的互异的特征值，如果 可对角化，则nnC.,21的列向量为 对应于 的特征向量，且列向量的极大线性无关组是特征向量kjiiE1i空间的一组基。矩阵对角化方法的研究5第二章 矩阵对角化方法探究2.1 矩阵对角化的方法2.1.1 一般矩阵的 3 种对角化方法方法一:利用特征值和特征向量对角化。先通过解 ，通过看其特征值 来看 有无重特征值，若 无重特0AE.2,1iAA征值或有重特征值但其特征值的代数重数等于几何重数则 可对角化，那么对每个解方程组 得相应的特征向量，从而求得一个可逆矩阵 1,2.i 0Xi使得 ,（其中 表示对角矩阵） 。PAp方法二：利用矩阵的初等变换化为对角矩