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数理方程期与特殊函数期末考试题 第 1 页(共 9 页)北京交通大学硕士研究生 2010-2011 学年第一学期数学物理方程期末试题(A 卷)(参考答案)学院 专业 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分分值 10 15 15 20 15 15 10 100得分阅卷人1、 (10 分)试证明:圆锥形枢轴的纵振动方程为: 2211xuxuEhht其中 是圆锥体的杨氏模量, 是质量密度, 是圆锥的高(如下图所示):E【提示:已知振动过程中,在 处受力大小为 , 为 处截面面积。 】xuESx【证明】在圆锥体中任取一小段,截面园的半径分别是 和 ,如图所示。于是,我们有1r22221112(,)(,)(,) ()dtan(d)uxutuxtErrxh上式化简后可写成数理方程期与特殊函数期末考试题 第 2 页(共 9 页)22 2d(,)(,)(,)(|(|()dx xututuxtEhxhh从而有 22(,)(,)()ttxx或成 222(,)(,)(1(1)ututaxhxh其中 ,证明完毕。2Ea2、 (20 分)考虑横截面为矩形的散热片,它的一边 处于较高温度 ,其它三边ybU, 和 则处于冷却介质中,因而保持较低的温度 。试求该截面上的0yxa 0u稳定温度分布 ,即求解以下定解问题:(,)uy2200,;|,.xxayybuybUxa【提示:可以令 ,然后再用分离 变量方法求解。 】0(,)(,)uxvx【解】令 ,则原定解问题变为0(,),yy2200,;|,.xxayybvybvUuxa分离变量:数理方程期与特殊函数期末考试题 第 3 页(共 9 页)(,)()vxyXYy代入方程得到关于 和 的常微分方程以及关于 的定解条件:XY0,()();aY可以判定,特征值 2(1,3)naL特征函数 ()si(,2)nnXxCx利用特征值 可以求得n() (1,3)nnaayynYyAeBL于是求得特征解 (,)si(,2)nnaayynvxx形式解为 11(,)(,)()sinnaayynyvxyAeBx由边界条件,有得到 00(2)4()1bnbnaaABnkeUu 解得 0(2)4()1bnbnaan kuABe最后得到原定解问题的解是1 0(,0)()sin,bnbaanvxxeu 数理方程期与特殊函数期末考试题 第 4 页(共 9 页)001(21)sh4() (21)(,) sinkkyUukauxy xba3、 (20 分)试用行波法求解下列二维半无界问题 2(,) 0,;, .uftxtttt【解】方程两端对 求积分,得x 100d(,)d()xxyufyh也即 0(,)()xfyy对 求积分,得y00d(,)d()yyxufygxhy也即 0(,)(,)()yxuxf由初始条件得 (,)(0)(ghx0uyy也即 ()(0)gxh再取 ,于是又有0x()()从而得 (0)()0gh于是 ()xxg数理方程期与特殊函数期末考试题 第 5 页(共 9 页)()(0)()0hygyh将这里的 和 代入 的表达式中,即得()gx,ux00,(,)d() 0()(0)(,)()yxyxufyyxgyhfyy4、 (20 分)用积分变换法及性质,求解无界弦的自由振动问题: 220,0()ttuaxt,【提示:可利用逆 Fourier 积分变换公式: 】11,|sin20xatatF【解】对变元 作 Fourier 变换,令x(,)(,)()()ixiixUtuyedFu则有 2200, (), ()t tUUat方程的通解是 12(,)(cos()sintCatat由初始条件得 12(), ()可得 121(), ()()Ca方程的解数理方程期与特殊函数期末考试题 第 6 页(共 9 页)1(,)(cos()sinUtatat从而 111(,)(,) cos()sin ()uxtFtaFatt查表可得 1 1, |, sin()2200xattxatatFfxohersohers从而 111si sin1()()()()2xatt tFfxddaa 注意到 1 1si()cos()() )2xatdtFtxatt 最后得到原问题的解 11sin(,)()cos() (22xatuxtFtFxad即 11(,)()()()xatuxtxtxt这就是 dAlembert 公式。5、 (20 分)对于平面上的调和函数 (,)uxy1)试证明 Dirichlet 边值问题解的唯一性,即:方程 只有零解; .0,u2)用 Green 函数法,试求解边值界为 的上半平面调和函数的 Poisson 表达式。(,)gxy数理方程期与特殊函数期末考试题 第 7 页(共 9 页)6、 (20 分)半径为 的球形区域内部没有电荷,球面上的电位为 , 为常数,0r 20cosu0求球形区域内部的电位分布。即求解以下定解问题(球坐标形式): 02 0211()(sin),icosrurr【解答】由于球面上边界条件中不含有变量 ,故只考虑轴对称解,可以用分离变量法求解该问题。为此令 (,)()urR代入方程,得 22()()0ddrctgr改写成 2 2dRdddrr t令 ,可将上面两个方程改写成(1),cos,nxP22()01(1)dRrrPxnx上面第二个方程是一个勒让德方程,其通解为 。而第一个方程是一个欧拉方程,它的通解是 )1(21)(nnxnrCrR再根据 的有界性,应有 ,从而R20Cnxnr)(于是,原问题的解是 0)(),(nPCru边界条件为 02cosr或写成 02rux数理方程期与特殊函数期末考试题 第 8 页(共 9 页)即有 200()nuxCrPx根据已有的结果 2201()3),(1Pxx或 22 0(cos)(s),(cos)P从而 201()3xx于是有 0200()()nuPCrP比较两端 的系数,可知()nPx002,(,2)3nuCr从而 200202(,)(cos)(cos)313()cos1)urPPrur7、 (10 分)用 Ritz-Galerkin 方法求下列问题的近似解: 20,().uxyxy其中区域 , 为常数。22(,)|xyR0u【提示:取近似解为 】1()uAxy【解】取基函数组 ,求 的近似解,只取 ,则220R(,)u1N。210()uAxy数理方程期与特殊函数期末考试题 第 9 页(共 9 页)泛函 21112222002222003()()d ()d 4)1 d()d4RJufuxyAARxyxyuxrrAu 3240 ()A令 1d()0JuA有 40(2)R可得 0uA最后得到定解问题的近似解为 2201(,)()4uxtRxy
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