12.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理 4 是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.三维目标1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理 4 和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线） ，请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路 2.（事例导入）观察长方体（图 1） ，你能发现长方体 ABCDABCD中，线段 AB所在的直线与线段 CC所在直线的位置关系如何？图 1推进新课新知探究提出问题什么叫做异面直线？总结空间中直线与直线的位置关系.两异面直线的画法.在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？什么是空间等角定理？什么叫做两异面直线所成的角？什么叫做两条直线互相垂直？2活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图 1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系： .,: ;: ;,没 有 公 共 点不 同 在 任 何 一 个 平 面 内异 面 直 线 没 有 公 共 点同 一 平 面 内平 行 直 线 有 且 只 有 一 个 公 共 点同 一 平 面 内相 交 直 线共 面 直 线教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图 2.图 2组织学生思考：长方体 ABCDABCD中，如图 1,BBAA，DDAA,BB与 DD平行吗？通过观察得出结论：BB与 DD平行.再联系其他相应实例归纳出公理 4.公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：a b,bc ac.强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理 4 是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图 3，异面直线 a、b，在空间中任取一点 O，过点 O 分别引 aa，bb，则 a，b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图 3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题 1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点 O 有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点 O（图 4） ，过点 O作 aa， bb，根据等角定理， a与 b所成的锐角（或直角）和 a与 b所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条3异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点 O 取在 a 或 b 上（如图 3）.图 4问题 2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当 a、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图 5）.图 5应用示例思路 1例 1 如图 6，空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.图 6求证：四边形 EFGH 是平行四边形.证明：连接 EH，因为 EH 是 ABD 的中位线，所以 EHBD，且 EH= .BD21同理，FGBD，且 FG= .BD21所以 EHFG，且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形.变式训练1.如图 6，空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点且AC=BD.求证：四边形 EFGH 是菱形.证明：连接 EH，因为 EH 是 ABD 的中位线，所以 EHBD，且 EH= .BD21同理，FGBD，EF AC，且 FG= ,EF= .BD21AC所以 EHFG，且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形.因为 AC=BD,所以 EF=EH.4所以四边形 EFGH 为菱形.2.如图 6，空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点且AC=BD，ACBD.求证：四边形 EFGH 是正方形.证明：连接 EH，因为 EH 是 ABD 的中位线，所以 EHBD，且 EH= .BD21同理，FGBD，EF AC，且 FG= ，EF= .AC21所以 EHFG，且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形.因为 AC=BD，所以 EF=EH.因为 FGBD，EF AC，所以 FEH 为两异面直线 AC 与 BD 所成的角.又因为 ACBD，所以 EFEH.所以四边形 EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点” 构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例 2 如图 7，已知正方体 ABCDABCD.图 7(1)哪些棱所在直线与直线 BA是异面直线？(2)直线 BA和 CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线 AA垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱 AD、DC、CC、DD、DC 、BC 所在直线分别与 BA是异面直线.(2)由 BBCC可知，BBA是异面直线 BA和 CC的夹角，BBA=45 ，所以直线 BA和CC的夹角为 45.（3）直线 AB、BC、CD、DA、AB、BC 、CD、DA分别与直线 AA垂直.变式训练如图 8，已知正方体 ABCDABCD.图 8（1）求异面直线 BC与 AB所成的角的度数；(2)求异面直线 CD和 BC所成的角的度数.解：（1）由 ABCD可知，BCD是异面直线 BC与 AB所成的角，BCCD，异面直线 BC与 AB所成的角的度数为 90.5（2）连接 AD,AC,由 ADBC可知，ADC 是异面直线 CD和 BC所成的角，ADC是等边三角形.ADC=60，即异面直线 CD和 BC所成的角的度数为 60.点评：“平移法” 是求两异面直线所成角的基本方法.思路 2例 1 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 AA1 和棱 CC1 的中点.求证：EB 1DF，EDB 1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图 9，设 G 是 DD1 的中点，分别连接 EG，GC 1.图 9EG A1D1，B 1C1 A1D1,EG B1C1.四边形 EB1C1G 是平行四边形,EB1 GC1.同理可证 DF GC1，EB 1 DF.四边形 EB1FD 是平行四边形.EDB1F.变式训练如图 10，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1、AB 的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图 10（1）AB 与 CC1；（2）A 1B1 与 DC；（3）A 1C 与 D1B；（4）DC 与 BD1；（5）D 1E 与 CF.解：（1）C平面 ABCD，AB 平面 ABCD，又 C AB，C 1 平面 ABCD,AB 与 CC1异面.（2）A 1B1AB，AB DC， A1B1DC.（3）A 1D1B1C1，B 1C1BC，A 1D1BC，则 A1、B、C、D 1 在同一平面内.A1C 与 D1B 相交.（4）B平面 ABCD，DC 平面 ABCD，又 B DC， D1 平面 ABCD,DC 与 BD1 异面.（5）如图 10，CF 与 DA 的延长线交于 G，连接 D1G，6AFDC，F 为 AB 中点， A 为 DG 的中点.又 AEDD1，GD1 过 AA1 的中点 E.直线 D1E 与 CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的 EB 与 A1C） ，有时看上去像相交（如图中的 DC 与 D1B）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例 2 如图 11，点 A 是 BCD 所在平面外一点，AD=BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，且 EF= AD，求异面直线 AD 和 BC 所成的角.图 11解：设 G 是 AC 中点，连接 EG、FG.因 E、F 分别是 AB、CD 中点，故 EGBC 且 EG= ，FGAD ，且 FG= .由异面BC21AD21直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角为异面直线 AD、BC 所成角，即 EGF 为所求.由 BC=AD 知 EG=GF= ，又 EF= AD,由勾股定理可得 EGF=90.AD212点评：本题的平移点是 AC 中点 G，按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形 ABCD，E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点，若 AB=， CD= ，且 HGHEsinEHG= ，求 AB 和 CD 所成的角.214312解：如图 12，由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD，图 12EHG 就是异面直线 AB 和 CD 所成的角.由题意可知 EFGH 是平行四边形，HG= ，HE= ，261AB321CDHGHEsinEHG= sinEHG.6127 sinEHG= .612312sinEHG= .故EHG=45.AB 和 CD 所成的角为 45.知能训练如图 13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 AB、CD、EF 和 GH在原正方体中相互异面的有对_.图 13答案：三拓展提升图 14 是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图 14AB 与 CD 所在直线垂直； CD 与 EF 所在直线平行；AB 与 MN 所在直线成 60角；MN 与 EF