1专题 13 函数的模型及其应用函数的模型及其应用1常见的几种函数模型(1)一次函数模型： y kx b(k0)(2)反比例函数模型： y b(k， b 为常数且 k0)kx(3)二次函数模型： y ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0)(4)指数函数模型： y abx c(a， b， c 为常数， b0， b1， a0)(5)对数函数模型： y mlogax n(m， n， a 为常数， a0， a1， m0)(6)幂函数模型： y axn b(a0)2三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y ax(a1) ylog ax(a1) y xn(n0)在(0，)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现为与 y 轴平行随 x 的增大逐渐表现为与 x 轴平行随 n 值变化而各有不同值的比较 存在一个 x0，当 x x0时，有 logax xn ax3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模2型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：1认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础2实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值3解函数应用题的程序是：审题；建模；解模；还原易错点1函数模型应用不当，是常见的解题错误所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型2要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域3注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_【解析】 1设年平均增长率为 x，则(1 x)2(1 p)(1 q)， 1 p 1 q x 1. 1 p 1 q1已知某种动物繁殖量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y alog3(x1)，设这种动物第 2 年有 100 只，到第8 年它们发展到()A100 只 B200 只C300 只 D400 只【解析】B由题意知 100 alog3(21)， a100， y100log 3(x1)，当 x8 时， y100log 3 9200.2(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据现准备用下列四个函数中3的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61A.y2 x B ylog 2xC y (x21) D y2.61cos x123一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为() 【解析】B由题意 h205 t,0 t4.结合图象知应选 B.1在某个物理试验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98y 0.99 0.01 0.98 2.00则对 x， y 最适合的拟合函数是()A y2 x B y x21C y2 x2 D ylog 2 x【解析】D根据 x0.50， y0.99，代入计算，可以排除 A；根据 x2.01， y0.98，代入计算，可以排除 B、C；将各数据代入函数 ylog 2 x，可知满足题意2某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A118 元 B105 元C106 元 D108 元【解析】D设进货价为 a 元，由题意知 132(110%) a10% a，解得 a108，故选 D.3一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图 292 甲、乙所示某天 0 点到 6点，该水池的蓄水量如图丙所示. 4图 292给出以下 3 个论断：0 点到 3 点只进水不出水；3 点到 4 点不进水只出水；4 点到 6 点不进水不出水，则一定正确的是()A BC D4将出货单价为 80 元的商品按 90 元一个出售时，能卖出 400 个，已知这种商品每涨价 1 元，其销售量就要减少 20 个，为了赚得最大利润，每个售价应定为()A85 元 B90 元C95 元 D100 元【解析】C设每个售价定为 x 元，则利润 y( x80)400( x90)2020( x95) 2225，当 x95 时， y 最大5(2016四川德阳一诊)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙中， t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y aent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有 L，则 m 的值为()a4A5 B8 C9 D10【解析】A5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，函数 y f(t) aent满足 f(5) ae5n a，12可得 n ln ， f(t) a ，15 12 (12)因此，当 k min 后甲桶中的水只有 L 时，a4f(k) a a，即 ，(12) 14 (12) 14 k10，由题可知 m k55，故选 A.56在如图 293 所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x为_m.图 293【解析】20设内接矩形另一边长为 y，则由相似三角形性质可得 ，解得 y40 x，所以面积x40 40 y40S x(40 x) x240 x( x20) 2400(0 x40)，当 x20 时， Smax400.7某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，至少应过滤_次才能达到市场要求(已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1)13【解析】8设过滤 n 次才能达到市场要求，则 2% n0.1%，即 n ，(113) (23) 120所以 nlg 1lg 2，所以 n7.39，所以 n8.238(2015四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：)满足函数关系ye kx b(e2.718为自然对数的底数， k， b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时9为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8k3x 5万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值610国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解(1)设旅行团人数为 x，由题得 0x75( xN *)，飞机票价格为 y 元，则 yError!即 yError!(2)设旅行社获利 S 元，则 SError!即 SError!因为 S900 x15 000 在区间(0,30上为单调增函数，故当 x30 时， S 取最大值 12 000 元，又 S10( x60) 221 000 在区间(30,75上，当 x60 时，取得最大值 21 000.故当 x60 时，旅行社可获得最大利润._7_