高等数学（一）试题 第 1 页（共 9 页）全国 2009 年 10 月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1函数 f(x)=lnx- ln(x-1)的定义域是（）A(-1,+) B(0,+ )C(1,+ ) D(0,1)知识点：函数的定义域答案：C 1x0解 ： -2极限 （）x62tanlim0A0 B 31C D321知识点：函数极限答案：B 002tan21limli63sec6xxxx解 ： 法 一 ： 法 二 ： 3设 f(x)=arccos( )，则 f (x)=（）2A B21 21xC D4x 4高等数学（一）试题 第 2 页（共 9 页）知识点：函数导数答案：D 24()11xxf解 ：4x=0 是函数 f(x)= 的（）x2eA零点 B驻点C极值点 D非极值点知识点：可导函数的极值的必要条件答案：D解：A。错误。f(0)=1B错误。 2 1f(x)=e102x x 令 解 得 驻 点 为可导函数的极值点一定是驻点，所以 D 正确。5初值问题 的隐式特解为（）3|dy2xA B21y26xyC D-5x -10知识点：可分离变量微分方程答案：A 22d=-y|31xxCyQ法 一 ： 代 入 选 项 验 证法 二 ： 直 接 求 解高等数学（一）试题 第 3 页（共 9 页）二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6已知 f(x+1)= ，则 f(x)=_.2知识点：复合函数答案： -12解 ： 令 x+=t,则 t- f() -17无穷级数 的和等于_.Kn332知识点：等比级数答案： 10013123lim32132nn nnnaqQn解 ： 法 一 ： S = 法 二 ： 首 项 是 ， 且 公 比 -8已知函数 y= ，则其弹性函数 =_.3exExy知识点：弹性函数答案： 3高等数学（一）试题 第 4 页（共 9 页）解： 323xEyex9设函数 f(x)=sin x+ ，则 f (x)=_.知识点：高阶导数答案： sinxe()coixfe解 ： 10 函数 f(x)=2 +3 -12x+1 的单调减少区间为_.32知识点：函数的单调区间答案： -1， 或 ， 2()60-21fx解 ： 令 解 得 函 数 的 单 调 递 减 区 间 是 ， 或 ，11函数 f(x)= -3x 的极小值为_.3知识点：函数极小值答案：-2 2()301()61,()601-2(),()1-0,fxxfffxfffxffxQ解 ： 令 解 得 驻 点 法 一 ： 极 值 的 第 二 充 分 判 别 法 在 取 得 极 小 值 法 二 ： 极 值 的 第 一 充 分 判 别 法 时 ， 时 ， 在 取 得 极 小 值 -时 ， -时 0()(1)2ff ， 在 取 得 极 大 值高等数学（一）试题 第 5 页（共 9 页）12定积分 =_.32d|x知识点：定积分答案： 1解： 0323032201|ddxxx13设 f (x)=cos x-2x 且 f(0)=2，则 f(x)=_.知识点：不定积分答案： 2sin解： 22()cosin0()sinfxxdxCCfxQ14已知 ，则 f(x)=_.xtf1d)(知识点：变限积分的导数答案： 2cosix解： f(x)= 21sincosin()dxxft 15设 z= ，则 =_.2yxz知识点：偏导数答案： 214yx解： z三、计算题（一） （本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）高等数学（一）试题 第 6 页（共 9 页）16求 a 的值，使得函数 f(x)= 在 x=1 处连续.1)(3sina知识点：函数的连续答案：3解：11sin()3()lmli3xxxffaQ又17求极限 .xxcos12eli0知识点：洛必达法则答案：2解： 0000e2eeelimlilimli21cossn1xxxx18求曲线 y= 的凹凸区间.432-6+4-1知识点：曲线的凹凸区间答案： 2U凹 区 间 -， ， ,凸 区 间 ，解： 3241846012yxxy令 解 得 曲 线 的 凹 区 间 -， ，令 解 得 曲 线 的 凸 区 间 ，19求不定积分 .xId2知识点：不定积分答案： 2xC解： 22221ddIxxC高等数学（一）试题 第 7 页（共 9 页）20计算二重积分 ，其中区域 D 由曲线 ，直线 x=2 以及 x 轴围成.DyxIdy知识点：二重积分答案： 825解： 22250008dxDIydx四、计算题（二） （本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）21求函数 f(x)= 的二阶导数.21x知识点：函数高阶导数答案： 2132lnxx解：2 2 2222132()1ln11()lnllxxx xxxx xf xf22求曲线 的水平渐近线和竖直渐近线.xy)ln(高等数学（一）试题 第 8 页（共 9 页）知识点：曲线渐近线答案： 0, 0-2yx曲 线 的 水 平 渐 近 线 是 曲 线 的 竖 直 渐 近 线 是 与解： 02ln(2)ln(2)ln()im,i,im, -xxxyxQ曲 线 的 水 平 渐 近 线 是 曲 线 的 竖 直 渐 近 线 是 与23计算定积分 .21dlnxI知识点：定积分答案： 3l4解： 222 211121lndlln34lln4Ixxxdx五、应用题（本大题 9 分）24设区域 D 由曲线 y= ， y= 与直线 x=0，x =1 围成.xe2（1）求 D 的面积 A；（2）求 D 绕 x 轴旋转一周的旋转体体积 Vx.知识点：平面图形的面积和旋转体的体积答案：247;310e11320 011252240 047()()xxxxedeeDv解 : ()S 高等数学（一）试题 第 9 页（共 9 页）六、证明题（本大题 5 分）25方程 sin(x-y+z)=x-y+z 确定了二元隐函数 z=z(x,y)，证明： .0yzx知识点：隐函数求导 =sin()()co1s()co1s()1cos()11xFxyzyxyzzFzzxyyFzzzxyQ解 ： 设 (,) 0