第 6 卷 第 1 期 1998 V o l. 6 N o. 1有 关 微 分 学 一 阶 导 数 和 二 阶 导 数 关 系 的 问 题朱 晓 峰( 北 京 印 刷 学 院 基 础 课 部 )连续与导数是高等数学的两个重要部分 , 内容极其丰 富 。 但是 , 学生往往对其中的某些概念和关系并不十分清楚 , 这从学生的解题过程和所提出的问题中不难发现 。 下面来看两个题例 :(x ) - f (0) 。(1) 已知函数 f (x ) 在 x = 0 处可 导 , 求极限 lim fxx 0(x ) + f (- x ) - 2f (0) 。(2) 已知函数 f (x ) 在 x = 0 处二阶可导, 求极限 lim fx 2x 0对于例 (1) , 因为函数在一点处可导, 则必在该点处连续 , 所以lim f (x ) = f (0)x 0因此, 例 (1) 是一个 “ 0 ”型的极限问题 。0由 于 对 导 数 概 念 和 关 系 不 清 楚 或 没 有 考 虑 利 用 罗 比 塔 (L H o sp ita l) 法 则 所 需 的 条 件 , 常 出 现以下错误解法 :(x ) - f (0) = lim f (x ) =lim f f (0) (3 )x 1x 0 x 0因为 “函数 f (x ) 在 x 0 点 某 邻 域 内 可 导 , 必 在 x 0 处 可 导 , 但 反 之 是 不 正 确 的 ”, 所 以 从 例 ( 1) 的已 知条件得不到 f (x ) 在 x = 0 的某邻域内可导的结论 。 这就是说 , 例 (1) 不满足罗比塔法则的条件,(3 ) 式的第一个等号不成立 。 即使将例 (1) 的已知条件改为 “函数 f (x ) 在 x = 0 的某邻域内可导” ,此解法也是错误的 。 因为函数 f (x ) 在 x = 0 的某邻域内可导, 未必其导数 f (x ) 在 该 邻 域 内 连 续 ,所以 (3 ) 式的第二个等号也不成立 。 因此 , 利用罗比塔法则求解例 (1) 是错误的 。 正确的解法是利用导数的定义 :因为函数 f (x ) 在 x = 0 处可导 , 所以 f (0) 存在, 因此有lim f (x ) - f ( 0) = lim f (x ) - f ( 0) = f (0)x x - 0x 0 x 0也许有的同学会问 : 是否存在在某点处可导 , 而在其任何邻域内不可导的函数呢?收 稿 日 期 : 1997 12 1176在高等数学中 , 导数概念无时不 在 , 无处不有 , 贯穿于始终 。 弄清导数概念及其之间的关系 , 对于学好高等数学会有很大帮助 。 下面列出有关一阶导数 (即导数 )、 二阶导数的一些常用术语, 以便 比较 :(a) 函数 f (x ) 在 x 0 某邻域内二阶导数连续 ; (b ) 函数 f (x ) 的二阶导数在 x 0 点连续 ;(c) 函数 f (x ) 在 x 0 点某邻域内二阶可 导 ;(d) 函数 f (x ) 在 x 0 点处二阶可导 ;(e) 函数 f (x ) 在 x 0 点某邻域内一阶导数连续 ; (f) 函数 f (x ) 的一阶导数在 x 0 点连续 ;(g) 函数 f (x ) 在 x 0 点某邻域内一阶可导 ; (h ) 函数 f (x ) 在 x 0 点处一阶可导 ;为了能够更容易看清相互之间的关系, 按照它们条件结论的强弱排列起来, 有关系图如下 : (d )(a) (b ) (c) (f) (g) (h )(e)图 1 一阶导数 、 二阶导数常用术语关系图(y ) 表示 “已知 (x ) , 则 (y ) 成立” 。 反之 , 则不成立 。图中, (x )一 阶导数 、 二阶导数之间的关系还有很多, 也很复杂 , 这里仅仅列举了其中很少几个 。 至于 n 阶导数 、 n + 1 阶导数之间 , 也存在着与一阶导数 、 二阶导数之间类似的关 系 , 这里就不再一一列举了 。参考文献1 同 济 大 学 数 学 教 研 室 1 高 等 数 学 1 北 京 : 高 等 教 育 出 版 社 , 19931(上接第 7 5 页 )安全, 要求驾驶员必须全面掌握 。 只有在第一部 分考试及格后方允许学生参加第二部分考试 。 第二 部 分 考 题 与 考 试 方 式 可 以 参 照 现 行 数 学 建 模竞 赛 的 做 法, 让 学 生 面 对 实 际 问 题 , 允 许 利 用 一 切可能的资料和设备 , 尽量能够模仿实际工作的 环 境 和 过 程 , 可 以 单 独 也 可 以 几 个 人 一 组 来 完成 。 这样的试题往往不再只有唯一的标准答案, 而 能 提 供 足 够 的 空 间 让 学 生 充 分 发 挥 对 所 学 知 识和其它信息的综合应用能力 , 并鼓励他们创造 性地对实际问题提出解决方案 。 学生的最后成绩 可以从两部分成绩加权平均得出 。 为强调知识应用的重要性, 可适当增大第二部分的权重 。教学改革是一项涉及方方面面的系统工程 ,实施起来会出现很多困难 。 对任课教师而言 , 将 意味着付出会更多 。 特别在目前基础课教师待遇 仍 然 偏 低 的 情 况 下, 更 是 一 个 值 得 重 视 的 问 题 。 此外, 作为管理部门能否真正重视教学改革的具 体 实 施 , 形 成 自 上 而 下 的 氛 围 , 而 不 再 仅 仅 是 教学部门自发的行为 , 将关系改革的成败 。参考文献11 叶 其 孝 1 数 学 建 模 教 育 与 国 际 数 学 建 模 竞 赛 1 工 科 数 学 杂志 社 , 1994178回答是肯定的 。 例如 , 设函数0x 2x 为有理数f (x ) = ,x 为无理数则该函数 f (x ) 在 x = 0 处可导 , 而在除 x = 0 点外任何点皆不可导 。这是因为 : 对任意 x , 有 f (x ) x 2 , 当 x 0 时, 有2f (x ) - f ( 0) f (x ) - 0 f (x ) x = x 0 (当 x 0 时 ) ,= =x - 0 x x x由夹逼准则, 得f (x ) - f ( 0)limx 0= 0x - 0所以,f (x ) - f (0) = 0, 即 f (0) = 0。limx 0 x - 0也 就是说 , 函数 f (x ) 在 x = 0 处可导 。 但是, 除 x = 0 点外, 在其它任何一点 x 0 (0 ) , 显然函数 f (x )不 连续 , 所以函数 f (x ) 在任何点 x 0 (0 ) 都不可导 。 从此例也可看出 , 函数在一点连续, 不一定在该点某邻域内连续 。对于例 (2) , 由于函数在一点处二阶可导, 必在该点可导, 所以函数在该点连续 , 从而有lim f (x ) + f (- x ) = f (0) + f (0) = 2f (0) ,x 0因此例 (2) 也是一个 “ 0 ”型的极限 。0有的同学拿到例 (2) 不知如何下手 , 想利用罗比塔法则 , 但又不能确定条件是否满足 。 这是对二阶 导数的性质不清所致 。 其实, 函数 f (x ) 在某点 x 0 处二阶可导, 则该函数 f (x ) 一定在 x 0 的某邻域 内一阶可导, 且导函数 f (x ) 在 x 0 连续 。这是因为 : 若函数 f (x ) 在 x 0 处二阶可导, 即 f (x 0 ) 存 在, 则 由 f (x 0 ) 的 定 义 知 , 函 数 f (x ) 的一 阶导数 f (x ) 在 x 0 处可导 。 而由导数与连续的关系知, 一阶导数 f (x ) 必在 x 0 点连续 。 再由f (x ) 在 x 0 点连续的定义知, f (x ) 在 x 0 点某邻域内有定 义 , 即 f (x ) 在 x 0 点某邻域内存在, 也就 是说函数 f (x ) 在 x 0 的某邻域内可导 。清楚了这一点, 再来看例 (2) , 其显然满足罗比塔法则条 件 。 利用罗比塔法则, 有lim f (x ) + f ( - x ) - 2f ( 0) = lim f (x ) - f (- x ) 。 (3 3 )x 2 2xx 0 x 0若对 (3 3 ) 式再用罗比塔法 则 , 就会犯与 (3 ) 式同样的错误 。 应该利用二阶导数的定义去求解 。 因为 f (x ) 在 x = 0 处二阶可导, 所以 f (0) 和 f (0) 存在, 故有lim f (x ) + f ( - x ) - 2f ( 0) = lim f (x ) - f ( - x )x 2 2xx 0 x 0f (x ) - f ( 0) + ( 0) - f ( - x= limx 0 2xf (x ) - f ( 0) += limx 0 2x1 lim f (x ) - f ( 0) + 1 lim f ( - x ) - f ( 0)=2 x - 0 2 (- x ) - 0x 0 x 01 f (0) + 1 f (0) = f (0)。=2 277f (0) - f (- x )2x) f