第 1 页类型平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究,备考攻略)在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题：1已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(简称 “三定一动”)2已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形( 简称“两定两动”)平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序1确定动点位置时出现遗漏2在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解1分清题型(属于三定一动还 是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同) 2分类讨论且作图(利用分类讨论 不重不漏的寻找动点具体位置) 3利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解 题技巧) 可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算” 1如果为“三定一动” ，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有 3 个点；这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的 3 个点2如果为“两定两动” ，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论1若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解2若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决3灵活运用平行四边形的中心对称的性质，也可使问题变得简单4平移坐标法先由题目条件探索三点的坐标(若只有两个定点，可设一个动点的坐标). 再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标最后根据题目的要求(动点在什么曲 线上) ，判断平行四边形的存在性1矩形：增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题2菱形：增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰(等边)三角形存在性问题3正方形：兼顾以上性质，还可以转化为等腰直角三角形存在性问题,典题精讲)第 2 页平移坐标法【例 1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx 22x3 与 x 轴交于 A，B两点(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，顶点为 P，如果以点 P，A，C，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标【解析】 P，A ，C 三点是确定的，过PAC 的三个顶点分 别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个符合条件的点 D(如图) 由 yx 22x3(x1) 24，得 A(3，0) ，C(0，3) ，P( 1，4) 由于 A(3，0) C(0，3)，所以 P(1，4) D1(2，7)= = = = =右 3， 上 3 = = = = =右 3， 上 3 由于 C(0，3) A( 3，0)，所以 P(1，4) D2(4，1)= = = = =下 3， 左 3 = = = = =下 3， 左 3 由于 P(1，4) C(0，3) ，所以 A(3，0) D3(2，1)= = = = =右 1， 下 1 = = = = =右 1， 下 1 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了【答案】点 D 的坐标为(2，7)或( 4，1)或(2，1) 两定两动的分类讨论(对点法的应用 )【例 2】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax 22ax3a(a0)与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左 侧)，经过点 A 的直线 l： ykxb 与 y 轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD4AC.(1)直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数解析式；( 其中 k，b 用含 a 的式子表示)(2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值；54(3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点 ，点 Q 在抛物线上， 以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由图备用图第 3 页【解析】1.过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F，那么AEF 与CEF 是共底的两个三角形2以 AD 为分类标准讨论矩形，当 AD 为边时，AD 与 QP 平行且相等，对角线AP QD；当 AD 为对角线时，AD 与 PQ 互相平分且相等【答案】解：(1)由 yax 22ax3aa(x1)(x3)，得 A(1，0)由 CD4AC ，得 xD4.所以 D(4，5a)由 A( 1，0) ， D(4，5a)，得直线 l 的函数解析式为 yaxa；(2)如图，过点 E 作 x 轴的垂线交 AD 于 F.设 E(x，ax 22ax 3a)，F(x， axa)，那么 EFy Ey Fax 23ax4a.由 SACE S AEF S CEF EF(xEx A) EF(xEx C) EF(xCx A) (ax23ax4a)12 12 12 12 a a，12(x 32)2258得ACE 面积的最大值为 a.解方程 a ，得 a ；258 258 54 25(3)已知 A(1，0)，D(4，5a) ，x P1，以 AD 为分类标准，分两种情况讨论：如图，如果 AD 为矩形的边，那么 ADQP，ADQP，对角线 APQD.由 xDx Ax Px Q，得 xQ4.当 x4 时，ya(x1)(x 3) 21a.所以 Q(4，21a)由 yDy Ay Py Q，得 yP26a.所以 P(1，26a)由 AP2QD 2，得 22(26a) 28 2(16a) 2.整理，得 7a21.所以 a .此时 P ；77 (1， 2677 )如图，如果 AD 为矩形的对角线，那么 AD 与 PQ 互相平分且相等由 xDx Ax Px Q，得 xQ2.所以 Q(2，3a)由 yDy Ay Py Q，得 yP8a.所以 P(1，8a)由 AD2PQ 2，得 52(5a) 21 2(11a) 2.整理，得 4a21.所以 a .此时 P(1，4)12图图图第 4 页1已知抛物线 yx 22x3 与 x 轴交于 A，B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ，与 y 轴交于点 C，顶点为 P.若以 A， C，P，M 为顶点的四边形是平行四边形 ，求点 M 的坐标. (三定一动型) 解：(1)确定位置：如图以 A，C，P 三个定点为顶点画APC ；过点 A 作 PC 的平行线，过点 P 作 AC 的平行线，过点 C 作 AP 的平行线；三条直线相交于 M1，M 2，M 3；(2)代数法求点 M 的坐标：如图：设点 M1(m，n)，利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等可得：解得 即 M1(4，1) n 0 4 3， 3 m 0 （ 1）， ) n 1，m 4， )同理可得：M 2(2，1)，M 3(2，7) 综上所述，点 M 的坐标为( 4，1) ，(2，1) ，(2，7)2如图，抛物线 y x2 x2 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C，点 D 与12 32点 C 关于 x 轴对称，点 P 是 x 轴上的一个动点. 设点 P 的坐标为(m，0) ，过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q.(1)求点 A，点 B，点 C 的坐标；(2)求直线 BD 的解析式；(3)当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 l 交 BD 于点 M，试探究 m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形第 5 页解：(1)当 x0 时，y x2 x22，12 32C(0，2). 当 y0 时， x2 x20，12 32解得 x11，x 24.A( 1，0) ， B(4，0)；(2)点 D 与点 C 关于 x 轴对称 ，D(0， 2) 设直线 BD 为 ykx2，把 B(4，0)代入，得 04k 2，k .12BD 的解析式为 y x2；12(3)P(m ，0) ，M(m， m2)，Q(m， m2 m2) 12 12 32若四边形 CQMD 为平行四边形，QMCD ，QMCD4，当 P 在线段 OB 上运动时，QM ( 12m2 32m 2) (12m 2) m2m44，12解得 m10(不合题意，舍去)，m 22.m2. 3(2017 兰州中考)如图，抛物线 yx 2bxc 与直线 AB 交于 A(4，4)，B(0，4) 两点，直线 AC：y x6 交 y 轴于点 C.点 E 是直线 AB 上的动点，过点 E 作12EFx 轴交 AC 于点 F，交抛物线于点 G. (1)求抛物线 yx 2bxc 的解析式； (2)连接 GB，EO，当四边形 GEOB 是平行四边形时，求点 G 的坐标； (3)在 y 轴上存在一点 H，连接 EH，HF，当点 E 运动到什么位置时，以 A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E，H 的坐标第 6 页解：(1)点 A(4，4)，B(0，4)在抛物线 yx 2bx c 上， 16 4b c 4，c 4， ) b 2，c 4， )抛物线的解析式为 yx 22x4; (2)设直线 AB 的解析式为 y kxn，直线 AB 过点 A，B， n 4， 4k n 4， ) k 2，n 4， )直线 AB 的解析式为 y2x4，设 E(m，2m 4)，G(m，m 22m4)，四边形 GEOB 是平行四边形 ，EGOB4，m 22m42m44，m2，G( 2，4); (3)如图，由(2)知，直线 AB 的解析式为 y2x4，设 E(a，2a4) ，直线 AC：y x6，12第 7 页F ，(a， 12a 6)设 H(0， p)，以点 A，E，F ，H 为顶点的四边形是矩形，直线 AB 的解析式为 y2x4，直线 AC：y x6，12ABAC ，EF 为对角线， (40) (aa)，12 12(4p) Error!，12 12a2，p1，E(2，0) ，H(0，1)请 完 成 精 练 本 第 65页 作 业