数学分析教案- 1 -第二十二章 曲面积分 教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同 时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。 教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。 教学时数：18 学时 1 第一型曲面积分 一. 第一型面积分的定义: 1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算 2. 曲面的质量: 3. 第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分 . 4. 第一型面积分的性质: 二. 第一型面积分的计算: 1. 第一型曲面积分的计算: 数学分析教案- 2 -Th22.2 设有光滑曲面 . 为 上的连续函数,则 . 例 4 计算积分, 其中 是球面 被平面 所截的顶部 . P2812 第二型曲面积分 一. 曲面的侧: 1. 单侧曲面与双侧曲面: 2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 ,则上侧法线方向对应第三个分量 , 即选“+”号时 ，应有 ，亦即法线方向与 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分内侧和外侧.二. 第二型曲面积分: 1. 稳流场的流量: 以磁场为例. P284 2. 第二型曲面积分的定义: P284 . 闭 合曲面上的积分及记法. 3. 第二型曲面积分的性质: 线性 , 关于积分曲面块的可加性. 4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 数学分析教案- 3 -设 为曲面 的指定法向, 则. 三. 第二型曲面积分的计算: Th22.2 设 是定 义在光滑曲面D 上的连续函数, 以 的上侧为正侧( 即 ), 则有.证 P 类似地, 对光滑曲面 D , 在其前侧上的积分.对光滑曲面 D , 在其右 侧上的积分.计算积分 时, 通常分开来计算三个积分数学分析教案- 4 -, , .为此, 分别把曲面 投影到 YZ 平面, ZX 平面和 XY 平面上化为二重积分进行计算. 投影域的侧由曲面 的定向决定. 例 1 计算积分 ,其中 是球面 在 部分取外侧. P287例 2 计算积分 ， 为球面 取外侧. 解 对积分 , 分别用 和 记前半球面和后半球面的外侧, 则有: ;: .因此, =+ =. 数学分析教案- 5 -对积分 , 分别用 和 记右半球面和左半球面的外侧, 则有: ;: .因此, +=.对积分 , 分别用 和 记上半球面和下半球面的外侧, 则有: ;: .因此, =+ =.数学分析教案- 6 -综上, =. 3 Gauss 公式和 Stokes 公式一. Gauss 公式: Th22.6 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 围成 . 若函数 在 V上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则,其中 取外侧. 称上述公式为 Gauss 公式或 Gauss 公式.证 只证 .设 V 是 型区域( 即 型体 ) , 其边界曲面 由曲面下侧 , D ,上侧 , D . . 以及垂直于 平面的柱面 (外侧)组成. 注意到= , 有=数学分析教案- 7 -=.可类证, .以上三式相加, 即得 Gauss 公式. 例 1 计算积分 ， 为球面 取外侧. 解 .由 Gauss 公式 .例 2 计算积分 ，其中 是边长为 的正方体 V 的表面取外侧. V : . P291解 应用 Gauss 公式 , 有数学分析教案- 8 -.例 1 计算积分 ， 为锥面 在平面 下方的部分，取外法线方向 .解 设 为圆 取上侧 , 则 构成由其所围锥体V 的表面外 侧 , 由 Gauss 公式 , 有=锥体 V 的体积;而 因而, .例 1 设 V 是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过 V 外的点连续收缩为 V 上的一点. 又设函数 、 和 在 V 上有连续的偏导数. 表示 V 内任一不自交的光滑封闭曲面, 是 的外法线. 试证明: 对 V 内任意曲面 恒有的充要条件是在 V 内处处成立.数学分析教案- 9 -证 .由 Gauss 公式直接得到 .反设不然 , 即存在点 V, 使,不妨设其 . 由在点 连续, 存在以点 为中心且在 V内的小球 , 使在其内有. 以 表示小球 的表面外侧, 就有,与 矛盾.二. Stokes 公式: 空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线 L 正向的匹配关系 : 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线 L 行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为 L 的正向. 1. Stokes 定理: Th22.7 设光滑曲面 的边界 L 是按段光滑的连续曲线 . 若函数 、 和 在 ( 连同 L )上连续 ,且有一阶连续的偏导数 , 则数学分析教案- 10 -.其中 的侧与 L 的方向按右手法则确定 . 称该公式为 Stokes 公式 . 证 先证式 . 具体证明参阅 P292.Stokes 公式也记为 .例 5 计算积分,其中 L 为平面 与各坐标平面的交线 , 方向为: 从平面的上方往下看为逆时针方向. P294 2. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性: 空间单连通、复连通域.Th 22.5 设 R 为空间单连通区域 . 若函数 、 和 在 上连续, 且有一阶连续的偏导数 , 则以下四个条件等价: 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L , 有 ; 数学分析教案- 11 - 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L , 曲线积分与路径无关; 是 内某一函数 的全微分; 在 内处处成立 . P2943. 恰当微分的原函数: 恰当微分的验证及原函数求法. 例 6 验证曲线积分 与路径无关 , 并求被积表达式的原函数 . P295第二十三章 流行上微积分学初阶 教学目的：1.理解和掌握向量函数、向量函数的极限、连续和一致连续等的概念，掌握有界闭区间上连续向量函数的性质； 2、理解向量函数的可微、隐向量函数和反向量函数的概念，掌握他 们可微的条件，会求向量函数、隐向量函数、反向量函数及复合向量函数的 导数。 3、用向量作为工具研究函数极值。 . 4、掌握外积、基本微分形式、以及微分形式外微分的概念及运算，能用外积为工具来理解证明一些多重积分的变量替换公式。 数学分析教案- 12 -教学重点难点：本章的重点是向量函数的极限、连续与微分；难点是复合向量函数、隐函数和反向量函数的求导讨论。 教学时数：14 学时 1 n 维欧氏空间与向量函数 一 n 维欧氏空 间 1.n 维向量空间：所有 n 个有序数组（ ）的全体.2. n 维欧氏空间 ：定义了内积的 n 维向量空间.3. 中的距离 ： =.1. n 维球形邻域 ： = 表示以 为中心，半径为 的 n 维球形邻域.2. 超平面：点集 当 3 时，称它为中的一个超平面.定理 23.1 设 ，则 为收敛点列的充要条件是：任给 ，存在 ，当 时，对一切正整数 都有（证明从略）.二 向量函数 数学分析教案- 13 -1. 向量函数：若 是 的一个子集，对每一个 ，都有唯一的一个 ，使 ，则称 为 到 的向量函数（也简称函数或称映射），记作或简单地记作 ，其中， 称为函数的定义域.2. 原象：在映射的意义下， 在 下的象为 在 下的象集为 称为 的原象.3. 一一映射：设 ，若对任何 ，只要 就有 ，则称 为 到 的一一映射（或称为单射）.三 向量函数的极限和连续 1. 设 是 的聚点， ： 若存在 ，对于 的任意小的邻域 ，总有 的空心邻域 ，则称在集合 上当 时， 以 为极限， 记作不致混淆的情况下，或 时， 简称 时 以 为极限，并 记作2. 设 ， ： 若对任何 ， 使得 则称 在点 （关于集合 ）连续.数学分析教案- 14 -如果 在 上每一点都连续，则称 为 上的连续函数.定理 23.2 设 若 在点 连续， 在点 连续，则按（6）（7）（8）定义的向量函数 都在点 连续.定理 23.3 函数 ： 在点 连续的充要条件为：任何点列 收敛于 时， 都收敛于 .定理 23.4 若 是有界闭集， 为 上的连续函数， 则 也是有界闭集.定理 23.5 若 是有界闭集， 为 上的连续函数， 则 直径可达，即存在 ，使得 .定理 23.6 若 是有界闭集， 为 上的 连续函数， 则 在 上一致连续.即任给 ，存在只依 赖于 的 ，只要 且 ，就有.定理 23.7 若 是道路连通集， 为 上的 连续函数， 则 也是道路连通集.