数学建模课程设计题 目： 输油管的布置 专 业： 数学与应用数学 学 号： 姓 名： 指导教师： 成 绩： 2011 年 01 月 03 日一、问题重述输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中 A 厂位于郊区（图中的 I 区域）， B 厂位于城区（图中的II 区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为 a = 5， b = 8，c = 15，l = 20。若所有管线的铺设费用均为每千米 7.2 万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元 /千米） 21 24 20用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送 A 厂成品油的每千米5.6 万元，输送 B 厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 二、问题分析问题一,基于光的传播原理，设计一种改进的最短路模型。考虑到共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形, 分为以下几种情况: 情况 1, 共用费用与非共用管线费用均相同,在不需要考虑价格差异的情况下，只需考虑如何设计最短的路线，讨论是否需要建立共用管线,引入共用管线长度未知参数 h 即可写出最短路函数；情况 2, 共用管线费用与非共用管线费用不同，同样也可写出最低费用函数；情况 3, 共用管线与非公用管线费用不相同, 以及两条非共用管线费用也不相同。问题二，题目中给出两个加油站的具体位置，并增加城区和郊区的特殊情况，进一步改进数学模型，将输油管路线在不同区域考虑为光在不同介质中传播的情况，即会发生折射。输油管的铺设将不会是直线方式。利用问题一中的模型加以改进得出最低费用函数，用 matlab 求解。问题三，与问题二解答类似，但由于所有管线间的费用都不同，利用问题二中建立的数学模型建立函数 。三、模型假设与符号说明模型假设1. 假设只考虑管线费用和附加费用, 不考虑管线拐弯分叉接头等的费用; 2. 假设炼油厂 比炼油厂 距离铁路近;AB3. 假设不考虑铺设管线线路的地势和地形的变化.符号说明: 分别表示铁路线一侧两个炼油厂的位置；,ABa: 表示 厂到铁路的距离;b: 表示 厂到铁路的距离;l: 表示 、 两个厂之间铁路的距离;问题一：C: 表示两厂管线的交汇点；h: 共用管线长m: 共用管线费用和非共用管线费用相同时单位管线费m1: 共用管线费用和非共用管线费用不相同但非共用管线费用相同时，单位共用管线费m2: 共用管线费用和非共用管线费用不相同时但非共用管线费相同时，单位非共用管线费m1: 共用管线费用和非共用管线费用不相同时且 A、B 两厂非共用管线费也不相同时，单位共用管线费m2: 共用管线费用和非共用管线费用不相同时且 A、B 两厂非共用管线费也不相同时，单位 A 厂到 C点管线费m3: 共用管线费用和非共用管线费用不相同时且 A、B 两厂非共用管线费也不相同时，单位 B 厂到 C点管线费W1: 共用管线费用和非共用管线费用相同时,总管线费用W2: 共用管线费用和非共用管线费用不相同时但非共用管线费相同时，总管线费用W3：共用管线费用和非共用管线费用不相同时且 A、B 两厂非共用管线费也不相同时，总管线费用问题二、三：: 表示共用和非共用管线的交点;PQ：表示管线在城郊分界线上处的拐点: 表示城区和郊区的输油管线费用不同的情况下的总费用 ; M: 表示在共用管线和非共用管线 , 以及城区和郊区管线费用都不同的情况下N的总费用;: 表示车站的位置;S四、模型的建立与求解4.1 问题一的模型根据题目可知, 两个炼油厂建在铁路的一侧, 针对共用管线与非共用管线费用是否相同, 共分为三种情况进行讨论: 如图所示：假设 A，B 分别为两厂，共用管线为 h，在距离铁路 h 处作平行线，又作 A 点关于平行线的对称点 A，连接 AB ，AB 与平行线的交点 C就是两厂管线的交汇点。l 为 A、B 两厂之间铁路的长度，a 为 A 厂到铁路的距离，b 为 B 厂到铁路的距离，（假设 b 大于等于 a）， e 为 A 厂与 C点之间铁路的距离。ea-hh铁路ablACBA1、共用管线费用和非共用管线费用均相同假设管线费用为 m 万元每千米则总管线长为 L= +h (0 )2)()lhba（ bh易知当 h=0 时，即无共管线时 L 最短，有 minL= 2)lb（总费用最少 minW1=minLm2、共用管线费用和非共用管线费不相同，但非共用管线费 相同假设共用管线费 m1，非共用管线费 m2则总费用 W2=m1h+m2 （0 ）2)()(lhbabh3、共用管线费用和非共用管线费不相同，非共用管线费 也不相同假设共用管线费用为 m1，A 厂到 C点管线费为 m2，B 厂到 C点管线费为 m3则总费用 W3= m1h+ m2 + m3 2)eha（22)()(elhb( , 0 , 0 ) allbh注：2、3 最少总费用则还需根据共用管线费用和非共用管线费具体的值在 h 大于等于 0 和小于 b 的范围内求取。4.2 问题二的模型考虑到铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用, 对三家咨询公司的资质和估算结果进行比较, 公司一是具备甲级资质的咨询公司, 公司二和公司三是具备乙级资质的咨询公司, 但是这两家乙级资质公司的收费标准相差 4 万元/千米, 差距很大. 根据的中华人民共和国建设部第 149 号令 5，甲、乙级资质的负责人的工作年限比为 15:10, 专职专业人数比为 20:12, 中级职工人数比为 16:8, 高级职工人数比为 10:6. 相比之下, 甲级资质的可信度比较高. 另外本题中给出的具备甲级资质的公司一的收费为 21 万元/千米, 具备乙级资质的公司的平均收费为 22 万元/千米. 在收费差距不大的情况下, 选择可信度比较高的具有甲级资质的公司一作为工程咨询公司。建立如图所示的直角坐标系：由于出现城郊分界线后, 需要考虑附加费用,那么管线在城郊分界线上将有个拐点,记为 Q（c，z） ，A，B 分别为两厂，P（x，y）为 A、B 两厂管线的交点，x轴为铁路所在处，S 为车站。Q(c,z)B(20,8)DSCA(0,5)P(x,y)城郊分界线xy根据上图, 建立模型: ; ,7.27.21MxyzAPQQB代入计算: 222 22,. 7.ayxczyplcbz用 软件解得极小值点为: mtlb,5.493,18,.3564相应的最小费用为: 万元280.17M两种极端情形：当权重取为 1:1:1 时，P 点坐标为(5.4462,1.8556)，Q 点坐标为 (15.0000, 7.3715)，最小费用为 283.5373 万元。当权重取为 1:0:0 时，P 点坐标为(5.4593,1.8481)，Q 点坐标为 (15.0000, 7.3564)，最小费用为 280.1771 万元。最终的答案依赖于权重的不同取值，但最小费用应介于 280.1771 万元和283.5373 万元之间。4.3 问题三的模型炼油厂的分支管线与城郊分界线交于点 , 建立如图 3 所示的直角BQcz坐标系, 那么从问题二到问题三, 就只有两家炼油厂的管线铺设的费用不同, 城区管线的铺设费用以及共用管线的费用都发生变化, 另外涉及到附加费用, 采用的方法与前一问题相同, 选择具备甲级资质的咨询公司一, 根据图 3 具体的模型如下: ;,5.67.261NxyzAPQyQB代入具体数值计算如下:222 222,5.6. 08xyzaxczcz使用 软件解得极小值点为: mtlb,674,.137,.659y相应的最小费用为: 万元.49650N五、模型的评价与推广5.1 模型的评价 模型优点:1. 针对共用管线和非共用管线费用是否相同的情况, 考虑全面; 2. 从距离和角度两个方面建立模型, 分析的结果相互照应, 并且清晰量化了管线的费用, 更加直观的确定出共用管线的位置,达到优化设计的目的;3. 求解的结果合理, 具有一定的可行性和实用性. 5.2 模型的推广在现实生活中, 有很多与本题输油管线铺设类似的问题, 比如货物运输路线的铺设， 工厂排污管道的铺设, 解决铺设成本最低等问题,我们可以根据本题的思想通过数学建模的方法, 结合实际,找出最佳方案. 虽然在建立和解决模型等方面有一些理想化因素, 但我们基本上能够为策划者提供一个较为实际且能够受用的简单可操作的方案.六、参考文献1 姜启源, 谢金星, 叶俊, 数学建模, 第三版, 北京: 高等教育出版社, 2003.2 中华人民共和国建设部令, http:/www.gov.cn/, 2010/09/11.