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用心 爱心 专心 121 号编辑 1高一数学函数一、知识结构二、重点难点重点:有关映射与函数的概念,要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域;幂函数的图象和性质;单调性的概念;反函数的概念;要掌握函数的图象和性质;对数运算与指数运算的关系,对数式与指数式的互化;对数性质和运算法则;难点:映射的概念;幂函数的应用;用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间;反函数的求法;利用指数函数的性质,结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题;对数概念与各名称的意义的理解;注意法则应用的条件和推导。三、知识点解析1、函数:(1)定义:1)传统定义:如果在某变化过程中有两个变量 ,并且对于 在某个范围,xyx内的每一个确定的值,按照某个对应法则 , 都有惟一确定的值和它对应,那么 就是fyy的函数,记为 ;2)近代定义:函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。x()yfx;上述两个定义实质上是一致的,只不过传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发,侧重点不同,函数实质上是从集合 A 到集合 B 的一个特殊的映射,其特殊性在于集合 A、B 都是非空数集。自变量的取值集合叫做函数的定义域,函数值的集合C 叫做函数的值域。这里应该注意的是,值域 C 并不一定等于集合 B,而只能说 C 是 B 的一个子集;(2)三要素:函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射。2、函数的单调性:用心 爱心 专心 121 号编辑 2(1)定义:对于给定区间上的函数 ,1)如果对于属于这个区间的任意两个自变量()fx的值 ,当 时,都有 ,那么就说 在这个区间上是增函数;2)2,x12x12f()fx如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值 ,当 ,都有 ,那么1,x112()fxf就说 在这个区间上是减函数;()fx(2)证明函数单调性的方法:1)用定义;2)利用已知函数的单调性;3)利用函数的图像;4)依据符合函数单调性有关结论;5) 为增函数,12()0()fxffx为减函数; 12()0()fxffx(3)函数的周期性:对于函数 ,如果存在一个不为零的常数 ,使得当 取定义域()fxTx内的每一个值时, 都成立,那么就把函数 叫做周期函数,不为零的()fxT()yfx常数 叫做这个函数的周期;对于一个周期函数,如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,T就把这个最小的正数叫做最小正周期:1)式子 对定义域中的每一个值都成立,()(fxTf即对定义域中的任何 ,式子都成立,而不能是“一个 ”或“某些 ”;2)一个函数是周x x期函数,它并不一定就有最小正周期,如: ( 是常数),显然,对任何一个正数()faT,都有 ;这就是说,任何一个正数都是 的周期,由于正数中不()()fxfxR()fx存在最小的数,所以周期函数 不存在最小正周期。设 是 的周期,那(f T)R么 且 )也一定是 的周期。(kN0k)x3、反函数(1)反函数的意义:一般地,式子 表示 是自变量 的函数,设它的定义域为()yfxyxA,值域为 B、我们从式子 中解出 ,得到式子 。如果对于 在 中的任何()yfx()yC一个值,通过式子 , 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 就表x ()x示 是自变量 的函数,这样的函数 ,叫做函数 的反函数,记作xy()xy()yfx,即 ,在函数式 中, 表示自变量, 表示函数。1()f1()()xf1fx习惯上,一般用 表示自变量,用 表示函数.为此对调函数式 中的字母 ,把y1()xfy,y用心 爱心 专心 121 号编辑 3它改写成 。1) 与 具有四性:A、互换性;B、对称性;C、奇()yfx()yfx1()fx偶性;D、单调性;2) 和 互为反函数,即 或1()fxB;3)求反函数的步骤:A、解出 ;B、交换 ,得1()fxxy,y;C、解出反函数的定义域(即原函数值域);4)互为反函数的两个函数图像关于直y线 对称;x(2)反函数存在的条件:并不是所有函数都存在反函数.根据反函数的定义,只有原象具有唯一性的函数,即对任意的 ,能推断出 成立的函数才具有反函数;12x12()fxf(3)反函数与原函数的关系:1)原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;2) 与 互为反函数,设 的定义域为 A,值域为 C,则有()yf1()f()f, ;1()fxC1xA(4)反函数的求法:可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数,其步骤为:1)由解出 ;2)交换 ,得 ;3)根据 的值域,写出()yf()y,y1()()xf()yfx的定义域。1x4、幂函数、指数函数、对数函数(1)幂、指数、对数式1)同底数幂的运算性质: , , ;(,)mnaQg()(,)mnaQ()()nnabQg2)根式的运算性质: ,当 是偶数时 ,当 是奇数时 ;()n (0)(|)|nan()na3)分数指数幂与根式的关系规定:正分数指数幂 ,(0,.,1)nmanNm且正分数指数幂 ;1n且4)对数及对数的运算性质:定义:如果 且 ),则数 叫做以 为底 N 的对数,记作 ,(0baN1abalogaNb用心 爱心 专心 121 号编辑 4对数恒等式: (a0 且 a1,N0),logNa对数的性质:()负数和零没有对数,() ,()log10(,1)a;log1(0,)a对数的运算法则:() ,()()(,)MNNMaaalogll,() ,() ; MlNaaall nlog1lognaNal换底公式: () ,()llogba1llab,() ;1231logll(,2)naaNnLoglmnaab(2)幂函数1)定义:形如 ( 是常数)的函数叫幂函数;ayx2)幂函数的图像见图:3)幂函数的性质:都过点(1,1);除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数都不过第四象限; 时,幂函数图像过(0,0)且在(0,+)上是增函数; 时,幂函数图像不过0a 0a(0,0)且在(0,+)上是减函数;任何两个幂函数图像最多有三个公共点,除(1,1),(0,0),(-1,1)外,其它任何一点都不是两个幂函数的公共点;(3)指数函数1)定义:形如 ( 且 )的函数叫指数函数;xya012)指数函数的图像见图:用心 爱心 专心 121 号编辑 53)指数函数的性质都过(0,1)点;定义域为 ,值域为 ;R 时,在(-,+)上是增函数; 时,在(-,+)上是减函数;1a01a 时, ; 时, 。01xa 01xxa(4)对数函数1)定义:形如 ( 且 )的函数叫对数函数;logayx012)对数函数图像见图。对数函数图像和指数函数图像关于直线 对称(互为反函数);yx3)对数函数的性质:都过(1,0)点;定义域为 ,值域为 ;R 时,在(0,+)上是增函数; 时,在(0,+)上是减函数;1a01a 时, ; 时, 。01xy 0xy四、例题1、函数例 1 审查下面四个命题:() 是函数;()函数是其定义()21fxx域到值域的映射;() 和 表示同一函数;() 和 表示同一函yx2 y0x数;其中正确的有 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个解 B用心 爱心 专心 121 号编辑 6注 高中数学中的函数是通过映射来定义的。例 2 函数 的图像是 |xy解 D 函数 可化为 。|xy1,0xy例 3 设 ak0,bc0,在同一坐标系中 y=ax2+c 与 y=kx+b 的图象应是 解 B 由 同号排除 D;由 b,c 异号排除 A,C。,ak例 4 已知函数 满足 ,则 c 的 3()()2xf()fxA、3 B、-3 C、3 或-3 D、不存在解 B 。对任何 成立,2()(6)923cxf xcg 3()2x所以 ,即 。而 ,故所求 。2690cc33例 5 函数 的定义域是 1yxA、 B、 C、 D、无法确定(,0(,0)(,1(,1解 B 解不等式组 得 ,此即所求定义域。1x,)0,例 6 已知函数 ,则 的值 36,()50fx(1)fA、2 B、-15 C、12 D、以上都不对 用心 爱心 专心 121 号编辑 7解 A 因为 ,所以 ,所以 。10(1)360f(1)(532ff注 求分段函数的函数值时,首先应清楚自变量的值在定义域的哪一段上。例 7 如果函数 的定义域是 ,那么函数 的()yfx0,1()(2)01)fxafxa定义域是_。解 0 解不等式 ,得1,2a(01)2xa,所以所求函数定义域为 。()12xa ,2例 8 已知 ,则 等于 。21()2,()(0)xgxfg1()f解 15 令 ,解得 。代入 得()42()xfg。214()5fg例 9若 ,则满足等式 的 的值是_。1()xf(2)()fxmf解 -2 因为 ,所以 。由题设的()xf1。1(2)132xm例 10 设 。若 的值域也为 A,则 b 的值2,(),()1()AbfxA()fx为_。解 3 函数 的对称轴为 ,而 ,故可令 ,即()f (),fb()f,解得 , 舍去。21()b3b1例 11 已知 是 的函数, ,求函数yx2,4(2),ttttttyR的解析式及其定义域。()yfx用心 爱心 专心 121 号编辑 8解 。因为 ,224(2)()4()4tttttttty xtR所以 ,即 。所以所求函数为 ;其定义域2tttgx()y为 。,)例 12 设 的值域为 ,求 的值。2()()1abfxxR1,4,ab解 设 ,则
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