第一章 二次函数1.1 建立二次函数模型一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对 一次函数、反比例函数的相关知 识如：各种 变量、函数的一般形式、 图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、 图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础。二、教学任务分析教学目标(一 )知识 与技能1探索并归纳二次函数的定义 2能够表示简单变量之间的二次函数关系(二 )过程与方法1经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程， 进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系2让学生学习了二次函数的定义后，能 够表示简单变量之间的二次函数关系3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题 (三 )情感 态度与价值观1从学生感兴趣的问题入手，能使学生 积极参与数学学习活动， 对数学有好奇心和求知欲2把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用 3通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思 维的过程，培养大家的合作意 识教学重点：二次函数的概念教学难点：经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程三、教学过程分析第一环节 课前准备活动内容：引导学生复习函数的概念及已经学习过的几种函数：1.对“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？我们学过那些关于函数的生活实际问题呢？2.函数的定义是怎样下的？3.让我们一起来回忆一下这些函数的一般形式。活动目的：函数是对初中生来说是较抽象的概念，而且学生距离之前学习函数相关内容有较长时间间隔， 这里有必要从学生已有的知识经验出发，学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也 为接下来的学习作好铺垫。第二环节 创设问题情境，引入新课活动内容：投影片：(2 1A)函 数一次函数一次函数y=kx+b (k 0)反比例函数反比例函数正比例函数正比例函数y=kx(k 0)0.kyx.变量之间的关系 某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种 树，那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵 树 就会少结 5 个橙子(1)问题中有哪些 变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为 y 个，那么 请你写出 y 与 x 之间的关系式（4）大家根据刚才的分析，判断一下上式中的 y 是否是 x 的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？请大家先独立思考，再互相交流后回答活动目的：此处提问时先由学生思考哪些是变量,等学生思考并回答后再提问哪些是自变量,哪些是因变量。这样设计问题由简单到复杂，逐步推进，同 时也可让学生初步体会到问题中所蕴涵着的函数关系。第三环节 想一想活动内容：如果你是果园的负责人，你最关心的问题是什么? （在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？）你能根据表格中的数据作出猜测吗？安排学生思考，可以是小组合作，也可以是自主学习的形式，然后组织交流。在反映函数什 变化过程中，教 师用自己的手势向学生说明此函数的增减性，010 时 y 随 x 的增大而增大，1020 时 y 随 x 的增大而减小，使学生形成对二次函数图象的初步印象Y/个1413121110987654321X/棵 活动目的：让学生作主，在生活情景中学习数学， 带着兴趣学数学，体 验每个人都学有用的数学。用统计 的方法得到关于最大产量的一种猜想，问题的最后解决留在以后。第四环节 做一做活动内容：投影片：(2 1B)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的 （本金是存入银行时的资金，利息是 银行根据利率和存的时间付给的“ 报酬”，本息和就是本金和利息的和利息本金利率期数(时间) ）设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存如果存款额是 100 元，那么 请 你写出两年后的本息和 y(元)的表达式( 不考虑 利息税) 在这个关系式中，y 是 x 的函数吗？活动目的：通过解决生活中数学问题，进一步熟悉用函数解析式反映变化过程，第五环节 归纳总结活动内容：从我们刚才推导出的式子 y5x 2100 x60000 和y100x 2200x 100 中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？一般地，形如 yax 2bx c(a，b，c 是常数， a0)的函数叫做 x 的二次函数(quadratic function)提问：1上述概念中的 a 为什么不能是 0？ 2对于二次函数 y=ax2+bx+c 中的 b 和 c 可否为 0？若 b 和 c 各自为 0 或均为 0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？3由问题 1 和 2，你能否总结：一个函数是否是二次函数，关 键看什么？4二次函数的解析式，与我们所学过的什么知识相类似？通过这个问题，使学生能把二次函数与一元二次方程初步搭上联系即可，为以后的教学做好铺垫由这三个问题加深学生对二次函数意义的理解，也同时给出了二次函数的三个特例：y=ax 2+bx（a0）；y=ax2+c（a0）；y=ax2（a0），使学生深刻理解：看一个函数是否是二次函数的关键是看二次项的系数是否为 0例 1下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=3(x-1)+1 (2)y=x+1/x (3)s=3-2t (4) y=1/x-x (5) v= r 例 2、用总长为 60m 的篱 笆围成矩形场地， 场地面积 S(m)与矩形一边长 a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？活动目的：在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举出以前所见到的一些二次函数关系式，通过练习加强对二次函数的理解。注意：(1)关于 x 的代数式一定是整式,a,b,c 为常数,且 a0.(2)等式的右边 自变量的最高次数为 2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.(3)二次函数 y=ax+bx+c(a,b,c 是常数,a0)还有以下几种特殊表示形式:y=ax - (a0,b=0,c=0,).y=ax+c - (a0,b=0,c0).y=ax+bx - (a0,b0,c=0). 第六环节 课堂反馈活动内容.下列函数中 ,哪些是二次函数？(1）v=10r (3) s=3-2t (5) y=(x+3)-x (6) y=3(x-1)+1;.用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积 S(m)与矩形一边长 a(m)之间的关系式是什么？它是什么函数？.如果函数 y= +kx+1 是二次函数,则 k 的值一定是_ .如果函数 y=(k-3) +kx+1 是二次函数,则 k 的值一定是_ 圆的半径是 4cm,假设半径增加 xcm 时,圆的面积增加 ycm.（1）写出 y 与 x 之间的函数关系表达式；（2）当圆的半径分别增加 1cm, 2cm 时,圆的面积增加多少？活动目的：通过“ 随堂练习 ”和习题，学生 进一步明确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系。实际教学效果：学生基本都能理解二次函数的概念，判断那些函数是二次函数，使学生感受二次函数与生活的密切联系。第七环节 布置作业二次函数的图象与性质（1）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变 量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会.1).2(xy .1).4(2xy23kx23k 了用描点法作出函数图象的方法。在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验。学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法作出函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性， 获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础。二、教学任务分析教学目标是：(一)知识与技能1能够利用描点法作出函数 y=x2 的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2 的性 质2猜想并能作出 y=-x2 的图象，能比较它与 y=x2 的图象的异同(二 )过程与方法1经历探索二次函数 yx 2 的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验2由函数 y=x2 的图象及性质，对比地学习 y-x 2 的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维(三 )情感与 态度1通过学生自己探索活动，达到 对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质理解 2在利用图象讨论二次函数的性质时， 让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质教学重点：作出函数 yx 2 的图象，并根据图象认识和理解二次函数 yx 2的性质。教学难点：由 y=x2 的图象及性质对比地学习 y-x 2 的图象及性质，并能比较出它们的异同点。三、教学过程分析第一环节 情境引入（生活中的抛物线）活动内容：寻找生活中的抛物线活动目的：通过让学生寻找生活中的抛物线，让生活走进数学，让学生对抛物线有感性认识，以激 发学生的求知欲，同时，让学生体会到数学来源于生活。实际教学效果：学生通过开动脑筋，产生联想， 寻找出生活中大量的类似抛物线的事物，再通过师生共同鉴定、修正，使学生获得大量对抛物线 感性认识的经验。第二环节 温故知新活动内容：复习：(1)二次函数的概念，（2）画函数的图象的主要步骤，（3）根据函数 y=x2 列表活动目的：让学生回忆与本节课有关的主要知识，为本节课探究二次函数的图象和性质做知识上、 经验上的准备。第三环节 合作学习（探究二次函数 yx 2 的图象和性质） 活动内容：1.用描点法画二次函数 y=x2 的图象，并与同桌交流。2.观察图象，探索二次函数 y=x2 的性质，提出问题：(1) 你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2) 图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象 与 x 轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当 x0 呢？(5)当 x 取什么 值时,y 的值最小? 最小值是什么？你是如何知道的？3.二次函数 y=x 2 的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的 图象4.它与二次函数 y=x2 的图象有什么关系？与同伴进 行交流。5.说说二次函数 y=x 2 的图象有哪些性质？与同伴交流。活动目的：1经历探索二次函数 yx 2 的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验2由函数 y=x2 的图象及性质，对比地学习 y-x 2 的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发