第二章 推理与证明 归纳 是通 过对 特例的 观 察和 综 合去 发现一般 规 律，一般通 过观 察 图 形或分析式子 寻 找 规 律， 归纳过 程的典型步 骤 是：先在 诸 多特例中 发现 某些相似性，再把相似性推广 为 一个明确表述的一般命 题 ，最后 对该 命 题进 行 检验 或 论证 例 1在德国布莱梅举行的第 48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正三棱锥 ”形的展品，其中第 1堆只有一层，就一个乒乓球；第 2,3,4、 堆最底层 (第一层 )分别按如图所示方式固定摆放从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第 n堆第 n层就放一个乒乓球，以 f(n)表示第 n堆的乒乓球总数，则f(3) _； f(n) _(答案用 n表示 ) 类 比是提出新 问题 和作出新 发现 的一个重要源泉，是一种 较 高 层 次的信息迁移，应 用 类 比的关 键 就在于如何把相关 对 象在某些方面的一致性 说 清楚常 见 的 类 比题 型有两 类 ：一 类 是 类 比旧知 识 ，推出新 结论 ；另一 类 是 类 比新知 识 ，推出新结论 例 2如图 所示，在 ABC中，射影定理可表示为 a bcosC ccosB，其中 a， b， c分别为角 A， B， C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想 解析 如图 所示，在四面体 P ABC中，设S1， S2， S3， S分别表示 PAB， PBC， PCA， ABC的面积， ， ， 依次表示面 PAB，面PBC，面 PCA与底面 ABC所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S S1cos S2cos S3cos. 从思 维过 程的指向来看，演 绎 推理是以某一 类 事物的一般判断 为 前提，而做出关于该类 事物的判断的思 维过 程，因此是从一般到特殊的推理数学中的演 绎 法一般是以三段 论 的格式 进 行的三段 论 由大前提、小前提和 结论 三个命 题组 成，大前提是一个一般性原理；小前提 给 出了适合这 个原理的一个特殊 场 合， 结论 是大前提和小前提的 逻辑结 果 综 合法是我 们 在已 经储 存了大量的知 识积 累了丰富的 经验 的基 础 上所用的一种方法，其 优 点是叙述起来 简洁 、直 观 、条理、清楚， 综 合法可使我 们 从已知的知 识 中 进 一步 获 得新知 识 例 4 已知二次函数 f(x) ax2 bxc(a0)(abc)的 图 象与 x轴 有两个不同的交点 A， B，且 f(1) 0. 分析法是一种从未知到已知的 逻辑 推理方法在探求 问题 的 证 明 时 ，它可以帮助我 们 构思，因而在一般分析 问题时 ， 较多地采用分析法，只是找到思路后，往往用 综 合法加以叙述，正如恩格斯所 说 “没有分析就没有 综 合 ”，在数学 证 明中不能把分析法和 综 合法 绝对 分开 反 证 法不是去直接 证 明 结论 ，而是先否定结论 ，在此基 础 上运用演 绎 推理， 导 出矛盾，从而肯定 结论 的真 实 性 数学 归纳 法是 专门证 明与正整数有关的命 题 的一种方法它是一种完全 归纳 法，它的 证 明共分两步，其中第一步是命 题 成立的基 础 ，称 为 “归纳 基 础 ”(或称特殊性 )第二步解决的是延 续性 (又称 传递 性 )问题 运用数学 归纳 法 证 明有关命 题 要注意以下几点： 1两个步 骤 缺一不可 2第二步中， 证 明 “当 n k 1时结论 正确 ”的过 程里，必 须 利用 “归纳 假 设 ”即必 须 用上 “当 n k时结论 正确 ”这 一 结论 3在第二步的 证 明中， “当 n k时结论 正确 ”这 一 归纳 假 设 起着已知的作用， “当 n k 1时结论 正确 ”则 是求 证 的目 标 在这 一步中，一般首先要凑出 归纳 假 设 里给 出的形式，以便利用 归纳 假 设 ，然后再去凑出当 n k 1时 的 结论 数学 归纳 法可以用来 证 明与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性 问题 及几何 问题 分析 本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力，在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查 (1)利用取倒数构造等比数列 (2)利用数学归纳法求解