圆心 弧 弦 弦心距之间的关系知识要点归纳1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。如 图 ， 同 心 圆 ， 虽 然 ， 但 ， 而 且 ， 弦 心AOBCDABABCD距也不相切。（2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。下面举四个错例：若 中 ， ， 则 ，OACDBEFCADFB这两个结论都是错误，首先 CE、FD 不是弦，CEA、BFD 不是圆心角，就不可以用圆心角定理推论证明。 O（3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。（4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。5. 1的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360 份，我们把每一份这样的弧叫做 1的弧。一般地，n的圆心角对着 n的弧，n的弧对着 n的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“ ”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的AOB弧一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。6. 圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦心距逐步增大，趋近于半径。（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的圆心角较大，反之也成立。注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。7. 辅助线方法小结：（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（I）连过弧中点的半径；（ II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。【典型例题】例 1. 已知：如图，在O 中，弦 AB、CD 的延长线交于 P 点，PO 平分APC。求证：（1）ABCD；（2）PAPC OACMNDB12分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角平分线 PO 过圆心，利用弦心距相等可以解决。证明：（1）过 O 点作 OMAB 于 M，ONCD 于 NPO 平分APCOMONABCD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）此题还有几种变式图形，道理是一样的。弦 AB、DC 的交点在圆上，即 B、P、D 三点重合。若 PO 平分APC，求证： PAPC。 OAC弦 AB、CD 交于 P 点（P 点在圆内） PO 平分APC，求证： ABCD。 OBADCP此题还可将题设与结论交换一下，即已知 ABCD，求证：PO 平分APC，证法与上面一样，利用弦心距等。（2）在 RtPOM 和 RtPON 中，1OMPNAS()QABCDBC1212， ，NPM即 PAPC例 2. 如图，在O 中，AB2CD，那么（ ）ODCABCDBA. .22与 的 大 小 关 系 不 可 能 确 定分析： 要 比 较 与 的 大 小 ， 可 以 用 下 面 两 种 思 路 进 行 ：（ ） 把 的 一 半 作 出 来 ， 然 后 比 较 与 的 大 小 ；112ABCD（ ） 把 作 出 来 ， 变 成 一 段 弧 ， 然 后 比 较 与 的 大 小 。2CD解法一：过 点 作 于 ， 则 ，OFABEFEAB1212QAB2， （ 等 弧 对 等 弦 ） Q在 中 ， ，AFBABF2CD2CD， 即故选 A。 OE解法二：如 图 ， 作 弦 ， 连 结 ， 则DECEDCE12Q在 中 ， 有2AB，E， 2OBDEC例 3. 如 图 ， 为 的 弦 ， ， 、 交 于 、 。CDABCFE求证：OEOF O证法一：连结 OC、ODQOCD，ABABOD， （ 等 弧 所 对 的 圆 心 角 相 等 ）FEOCDABFE证法二：过 O 点作 OMCD 于 N 交O 于 MCMD又 ，QAB又 ，FNE90OOCDABMN例 4. 如图，O 中 AB 是直径，COAB，D 是 CD 的中点，DE AB。求 证 ： ECA2O分析：在 同 圆 中 ， 要 证 ， 考 虑 分 别 求 出 和 的 度 数 ， 而 弧 的ECAECA2度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是求出COE、AOE 的度数。证明：连结 OEQDBO/， 是 中 点ECEDO， ，12309036的 度 数 是QOAD AE的 度 数 是 30C2OBCD例 5. 如 图 ， 是 等 边 三 角 形 ， 是 直 径 ， ， 、ABCAAEFBCEF交 AB 于 M、N 。求证：AMMNNB OEFMN解析一：由 于 、 是 半 圆 的 三 等 分 点 ， 故 连 结 ， 知 ， 因 而也 为 等 边 三 角 形 。 所 以 ， ， 即 ， 则 ， 可求 得 ， 知 是 直 径 的 三 等 分 之 一 ， 同 理 ， 也 是 的 三 分 之 一 ，故 问 题 得 证 。EFABAEAOECABCMBCAMB N 6012 /OEFM证法一：连结 OE、AE，设等边ABC 的边长为 2aQABOAB为 直 径 ， E等 于 的 度 数13OEa806，A为 等 边 三 角 形 AEOa又 ，QCBAEBC60/M21AB3同 理 ， NMAB213解析二：连 结 ， 易 知 ， 也 可 求 得 ， 进 而 可 求 得 与 半 径 的 比 。OECMOA/证法二：如图，连结 OE，设 AC2a，则 ACAB2OE 2aQCAMOEACOE60， /a21323， 即故 AB31N同 理 ，M解析三：要证 AMMNNB ，即证 AM：MO 2：1，故联想到三角形的重心性质，若能证明M 是ACG 的重心，问题得证。（三角形的重心即为三角形三条中线的交点到顶点的距离等于交点到对边中点距离的 2 倍）OCABEFMNG证明三：连结 AE，并延长交 CO 的延长线于 G设 AC2a，则有 AEOAa（证法一中已证明AOE 为等边三角形）ACBC，AOOBAOCG，CAB GAO60，AOAOAOCAOGOCOG，且 AGAC2aAEa，AEEGa即 E 为 AG 中点，O 为 CG 中点M 为ACG 的重心AAB2313同 理 ， NB【模拟试题】一. 选择题。1. 在O 与O中，若 中，则有（ ）AOBA. B. ABC. D. 的大小无法比较与 2. 半径为 4cm，120的圆心角所对的弦长为（ ）A. B. C. D. 5cm43c6cm3c3. 在同圆或等圆中，如果圆心角BOA 等于另一个圆心角 COD 的 2 倍，则下列式子中能成立的是（ ）A. B. ABCD2ABCD2C. D. 4. 在 O 中，圆心角AOB90，点 O 到弦 AB 的距离为 4，则O 的直径的长为（ ）A. B. C. 24 D. 164285. 在O 中，两弦 ABCD，OM 、ON 分别为这两条弦的弦心距，则 OM、ON 的关系是（ ）A. B. MNN C. D. 无法确定OMN6. 如图， AB 为O 的直径，C 、D 是O 上的两点， ， ，则BAC20DDAC 的度数是（ ）A. 70 B. 45 C. 35 D. 30二. 填空题。1. 一条弦把圆分成 1：3 两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为_。2. 一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为_。3. 在半径为 R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于 _。4. 在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于 E，且AEC 30，AE 1cm，BE5cm，那么弦 CD 的弦心距 OF_cm，弦 CD 的长为_cm。5. 已知O 的半径为 5cm，过O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则OP_。6. 已知 A、B、C 为O 上三点，若 度数之比为 1：2：3，则ABC、 、AOB_，BOC_，COA _ 。7. 已知O 中，直径为 10cm， 是O 的 ，则弦 AB_，AB 的弦心距14_。三. 解答题。1. 如图：已知，OA 为O 的半径，AC 是弦， OBOA 并交 AC 延长线于 B 点，OA6，OB8，求 AC 的长。 AC2. 如图， 中， ，O 在 的三边上所截得的弦长都相等，求ABC70BBOC 的度数。 C3. 已知：如图，在O 中，弦 ABCD，且 ABCD 于 E，BE7，AE3，OGAB于 G，求：OG 的长？OABCDGE4. 已知：如图， ，求OFE 的度数。ABCEABFCE， ， ， 255. 如图，C 是O 的直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CDCO，使 的度数为AD40，求 的度数。BEABDE6. 如图：已知，O 中， ，OB、OC 分别交 AC、DB 于 M、N 。BCD求证： 是等腰三角形。MNOA7. 如图，O 中弦 ABCD，且 AB 与 CD 交于 E。求证：DEAE 。BD【试题答案】一. 选择题。1. D 2. B 3. D 4. B 5. A 6. C二. 填空题。1. 90 2. 300 3. 4. 3R142，5. 3cm 6. 60，120，180 7. 5，三. 解答题。1. 过 O 点作 ODAB 于 DACB1210，根据射影定理： A2367.， COD2. BOC125提示：O 是 中B、C 的角平分线交点。A3. OG2过 O 点作 OMCDQDMOG，四边形 OGEM 是正方形GEAB122D4. OFE1255. 120。连结 OD、OE。 CEAOB6. 证明： QABDAD，