2014高考数学（理科）三轮考前体系通关：解答题押题练 A组1在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 c2， C60.(1)求 的值；a bsin A sin B(2)若 a b ab，求 ABC的面积解(1)由正弦定理可设 ，asin A bsin B csin C 2sin 60 232 433所以 a sin A， b sin B，(3 分)433 433所以 .(6分)a bsin A sin B 433 sin A sin Bsin A sin B 433(2)由余弦定理得 c2 a2 b22 abcos C，即 4 a2 b2 ab( a b)23 ab，(7 分)又 a b ab，所以( ab)23 ab40.解得 ab4 或 ab1(舍去)(12 分)所以 S ABC absin C 4 .(14分)12 12 32 32如图，正方形 ABCD和三角形 ACE所在的平面互相垂直， EF BD， AB EF.2(1)求证： BF平面 ACE；(2)求证： BF BD.证明(1) AC与 BD交于 O点，连接 EO.正方形 ABCD中， BO AB，又因为 AB EF，2 2 BO EF，又因为 EF BD， EFBO是平行四边形， BF EO，又 BF平面 ACE， EO平面 ACE， BF平面 ACE.(7分)(2)正方形 ABCD中， AC BD，又因为正方形 ABCD和三角形 ACE所在的平面互相垂直，BD平面 ABCD，平面 ABCD平面 ACE AC， BD平面 ACE， EO平面 ACE， BD EO， EO BF， BF BD.(14分)3经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30天计)，旅游人数 f(t)(万人)与时间t(天)的函数关系近似满足 f(t)4 ，人均消费 g(t)(元)与时间 t(天)的函数关系近似1t满足 g(t)115| t15|.(1)求该城市的旅游日收益 w(t)(万元)与时间 t(1 t30， tN *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值(万元)解(1)由题意得， w(t) f(t)g(t) (115| t15|)(1 t30， tN *)(5 分)(41t)(2)因为 w(t)Error!(7 分)当 1 t15 时， w(t) (t100)4 40142 401441，(41t) (t 25t) 25当且仅当 t ，即 t5 时取等号(10 分)25t当 15 t30 时， w(t) (130 t)519 ，(41t) (130t 4t)可证 w(t)在 t15,30上单调递减，所以当 t30 时， w(t)取最小值为 403 .(13分)13由于 403 441，所以该城市旅游日收益的最小值为 403 万元(14 分)13 134如图，已知椭圆 C： y21， A、 B是四条直线x24x2， y1 所围成的两个顶点(1)设 P是椭圆 C上任意一点，若 m n ，求证：OP OA OB 动点 Q(m， n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若 M、 N是椭圆 C上两上动点，且直线 OM、 ON的斜率之积等于直线 OA、 OB的斜率之积，试探求 OMN的面积是否为定值，说明理由(1)证明易求 A(2,1)， B(2,1)(2 分)设 P(x0， y0)，则 y 1.由 m n ，得Error!x204 20 OP OA OB 所以 ( m n)21，即 m2 n2 .故点 Q(m， n)在定圆 x2 y2 上(8 分)4 m n 24 12 12(2)解设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 .y1y2x1x2 14平方得 x x 16 y y (4 x )(4 x )，即 x x 4.(10 分)212 212 21 2 21 2因为直线 MN的方程为( x2 x1)x( y2 y1)y x1y2 x2y10，所以 O到直线 MN的距离为d ，(12 分)|x1y2 x2y1| x2 x1 2 y2 y1 2所以 OMN的面积 S MNd12 |x1y2 x2y1|12 12 x21y2 x2y21 2x1x2y1y2 12 x21(1 x24) x2(1 x214) 12x21x2 1.12x21 x2故 OMN的面积为定值 1.(16分)5已知各项均为正数的数列 an的前 n项和为 Sn，满足 8Sn a 4 an3( nN *)，且2na1， a2， a7依次是等比数列 bn的前三项(1)求数列 an及 bn的通项公式；(2)是否存在常数 a0 且 a1，使得数列 anlog abn(nN *)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解(1) n1 时，8 a1 a 4 a13， a11 或 a13.(2 分)21当 n2 时，8 Sn1 a 4 an1 3，2n 1an Sn Sn1 (a 4 an a 4 an1 )，18 2n 2n 1从而( an an1 )(an an1 4)0因为 an各项均为正数，所以 an an1 4.(6 分)所以，当 a11 时， an4 n3；当 a13 时， an4 n1.又因为当 a11 时， a1， a2， a7分别为 1,5,25，构成等比数列，所以 an4 n3， bn5 n1 .当 a13 时， a1， a2， a7分别为 3,7,27，不构成等比数列，舍去(11 分)(2)假设存在 a，理由如下：(12 分)由(1)知， an4 n3， bn5 n1 ，从而anlon abn4 n3log a5n1 4 n3( n1)log a5(4log a5)n3log a5.由题意，得 4log a50，所以 a .(16分)456已知函数 f(x) x22 ax1( aR)， f( x)是 f(x)的导函数(1)若 x2，1，不等式 f(x) f( x)恒成立，求 a的取值范围；(2)解关于 x的方程 f(x)| f( x)|；(3)设函数 g(x)Error!，求 g(x)在 x2,4时的最小值解(1)因为 f(x) f( x)，所以 x22 x12 a(1 x)，又因为2 x1，所以 a max在 x2，1时恒成立，因为 ，(x2 2x 12 1 x ) x2 2x 12 1 x 1 x2 32所以 a .(4分)32(2)因为 f(x)| f( x)|，所以 x22 ax12| x a|，所以( x a)22| x a|1 a20，则| x a|1 a或| x a|1 a.(7分)当 a1 时，| x a|1 a，所以 x1 或 x12 a；当1 a1 时，| x a|1 a或| x a|1 a，所以 x1 或 x12 a或 x(12 a)；当 a1 时，| x a|1 a，所以 x1 或 x(12 a)(10 分)(3)因为 f(x) f( x)( x1) x(12 a)， g(x)Error!若 a ，则 x2,4时， f(x) f( x)，所以 g(x) f( x)2 x2 a，12从而 g(x)的最小值为 g(2)2 a4；(12 分)若 a ，则 x2,4时， f(x) f( x)，所以 g(x) f(x) x22 ax1，32当2 a 时， g(x)的最小值为 g(2)4 a5，32当4 a2 时， g(x)的最小值为 g( a)1 a2，当 a4 时， g(x)的最小值为 g(4)8 a17.(14 分)若 a ，则 x2,4时，32 12g(x)Error!当 x2,12 a)时， g(x)最小值为 g(2)4 a5；当 x12 a,4时， g(x)最小值为 g(12 a)22 a.因为 a ，(4 a5)(22 a)6 a30，32 12所以 g(x)最小值为 4a5，综上所述，g(x)minError!(16 分)