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江西师范大学附属中学 2015 届高三数学上学期期末考试试题 理一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1若复数 满足 (其中 为虚数单位) ,则 的共轭复数的模为( )Z(2)5iiZA B2 C D3 62设集合 ,则 =( )21|ln(3),|lg()xyxByx(RABIrA B C D(0,1),(01),U3,03下列命题中正确命题的个数是( )(1)命题“若 则 ”的逆否命题为“若 ,则 ”;230,xx1x20x(2)在回归直线 中, 增加 1 个单位时, 一定减少 2 个单位;$1y y(3)若 为假命题,则 均为假命题;pq且 ,pq(4)命题 使得 ,则 均有 ;0:,xR20x:,pxRx(5)设随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 ;(,1)N0(1)P01()2PPA2 B3 C4 D54设 若 ,则 ( 0(sinco),kxd82801()kxaxaxL128aL)A B0 C1 D25615已知实数 a、 b、 c、 d 成等比数列,且对于函数 ,当 时取到极大值 ,lnybc则 ( )dA B0 C1 D26平行四边形 中, , , 是线段 上一点,且满足ACD4A06,BMDC,若 为平行四边形 内任意一点(含边界),则 的最大值为( 14DMurNBANur)A13 B0 C8 D57双曲线 的左右焦点分别为 ,且 恰为抛物线 的焦点,设双曲线 与该12,F224yx抛物线的一个交点为 ,若 是以 为底边的等腰三角形,则双曲线 的离心率为A1AC( )A B C D2338. 在三棱锥 中, 平面 , , 为侧棱 上的一点,它的正PBCP视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是( )A 平面 ,且三棱锥 的DCDA体积为 83B 平面 ,且三棱锥 的A体积为C 平面 ,且三棱锥 的体积为ADPBCDABC163D 平面 ,且三棱锥 的体积为9某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人) ,其中甲和乙不同 去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有( )A150 种 B300 种 C600 种 D900 种10在 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边, ,且满足 ,若C bcsincosBA点 是 外一点, , ,则平面四边形 面积的最O(0)AO2OABOC大值是( )A B C3 D853445345211设椭圆方程为 ,右焦点 ,方程 的两实21(0)xyab(,0)Fc0axbc根分别为 ,则 必在( )12,2(,)PA圆 内 B圆 外xy2xyC圆 上 D圆 与圆 形成的圆环之间12xy12已知 定义在 上单调函数,且对任意的 ,都有 ,()f(0,)(0,)2()log3fx则方程 的解所在区间是( )2xA B C D1(0,)21(,)(1,2)(2,3)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 如图所示的程序框图的运行结果为 ,那么判断框中应填入的关于 的条件是 3Sk14. 已知 且 ,则 = (0,)2tan()34lg(sin2cos)lg(3incos)15. 请阅读下列材料,若两个正实数 , 满足 ,那么 .证明:构1a1a12a造函数 ,因为对一切实数 ,恒有21 2()()()fxxxx,所以 ,从而得 ,所以 .021)8012根据上述 证明方法,若 个正实数满足 时,你能得到的结论为 nnL16已知234213342013() ,()xxxxf gL设函数 且 的零点均在区间 内,(),Fxg()F,ab(,)Z则 的最小值为 ba三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 (本小题满分 12 分)已知数列 满足条件:n11,2nata*()nN(1)判断数列 是否等比数列*()N(2)若 ,令 ,记1t12nCa123n nTCCL*()N求证: nn18 (本小题满分 12 分)PM 2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,根据现行国家标准 PM 2.5 日均值在 35 微克/立方米以下,空309521,GB气质量为一级;在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间,空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上,空气质量为超标 。从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM 2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本,监测值频数如下表所示:PM 2.5 日均值(微克/立方米) 25,35 (35,45 (45,55 (55,65 (65,75 (75,85频数 3 1 1 1 1 3(1)从这 10 天的 PM 2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据,记 表示抽到 PM 2.5 监测数据超 标的天数,求的分布列;(3)以这 10 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空所质量情况,则一年(按 365 天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级(精确到整数)19 (本小题满分 12 分)已知梯形 中, , = 、 分别是 、ABCD/BACBD,24,2ACDEFAB上的点, 是 的中点,沿 将梯形/,EFxGEF翻折,使平面 平面 (如图)E(1)当 时,求证:2x;B(2)若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 ,求()fx的最大值;()fx(3)当 取得最大值时,求二面角 的余弦值DBFC20 (本小题满分 12 分)已知双曲线 的中心为原点 ,左、右焦点分别为 、 ,离心率为2:1(0)4xyEaO1F2,点 是直线 上任意一点,点 在双曲线 上,且满足35P23QE0PQur(1)求实数 的值;a(2)证明:直线 与直线 的斜率之积是定值;QO(3)若点 的纵坐标为 1,过点 作动直线 与双曲线右支交于不同两点 ,在线段PPl MN上取异于点 的点 满足 ,证明:点 恒在一条定直线上.MN,N,H|MHN21 (本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 ,其中 R2()1xefaa(1)求实数 的取值范围,并讨论当 时, 的单调性;a0()fx(2)当 时,证明:当 时, .0,xf请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答,多选、多答,按所选的首题进行评分;不选,按本选考题的首题进行评分。22 (本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲如图, 四点在同一圆上, 与 的延长线交于点 点 在 的延长线上,ABCDBCAD,EFBA(1)若 ,求 的值;1,32E(2)若 证明: .2,F/EF23 (本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程已知直线 为参数)经过椭圆 为参数)的左焦点cos,:inxmtly(t 2cos,:(3inxCy.F(1)求 的值;(2)设直线 与椭圆 交于 、 两点,求 的最大值和最小值.lCAB|FAB24 (本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知函数 2()log(|1|2|)fxxa(1)当 时,求函数 的定义域;4a)f(2)若对任意的 R,都有 成立,求实数 的取值范围.x()2fxa答案一 、选择题1C2解析: 选 C(3,1),)(,0)ABU3 (1)正, (2)错, (3)错, (4)正确(5)正确,选 B4 , ,选 BK0a18aL5由 , 01ybxlnl11ybc,选 A,1adbcQ6建系如图,设 则(,)Nxy(2,3)(5,)MC,令 ,当它过点 时,23AMurZxy(5,3)=Z大 51选 A7 ,CQ21|12APFx1Ax(,)由 ,即21|21aa,选 Bt8由正视图可知, ,且点 为线段 的中点,所以 ,由侧视图可知,PACDPCADPC,因为 平面 所以 ,又因为 且 ,所以4BC,B,I平面 ,所以 ,又因为 ,且 ,所以可得 平面BABI, ,选 CP116()323DABCACVPS9甲丙同去,乙不去,有 2450CA甲丙同不去,乙去有 34甲、乙、丙都不去有 5120种2406N选 C10由已知得 又sin()siinsi,ABCAcabc等边三角形 2 2135354cos,2sisinos44OACBABSB选 A58sin()3411 ,12bxaQ12cxa选 D22 2() (1)(,)e12令 0220log()logxfxfx03fx令 0,()l3f2()logf21()2()log0lnfxxx选 C10,gQ13. K614. 015. 12naaL16. 2320111(0),() 0,()12345203ff fxxL L易知当 时, ;当 时,x0fx2203()fx在 上恒成立,故 在 R 上是增函数()0fR()fx又 , 只有一个零点,记为 ,则1ff 1x(,0)同理可证明 也只有一个零点,记为 且()gx2,(,)故 有 2 个不同零点 即将 向左平移 3 个单位, 即将 向()34)Ff34,.x1x4x2右平移 4 个单位, 3(4,)x4(5,6)x又函数 的零点均在区间 内,且 ,故当 时,即 的最()F,ab,baZ4,6aba小值为 641017解(1)当 时, 不是等比数列,当 时, 是以 为首项,21tna1tna1t为等比的等比数列(6 分)(2) (8 分)na (10 分)1112()2nnnnnCa (12 分)111()372n nnnTL18.(1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,恰有一天空气质量达到一级”为事件 A,则(4 分)12370()4CP(2)依据条件, 服从超几何分布,其中 的可能取值为10,3,NMn0,1,2,3,3710()(,23)kCP其分布列为0 1 2 3724240740120(8 分)(3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 71P设一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ,则(365,0.)B:3650.72.56E估计一年中平均有 256 天的空气质量达到一级或二级(12 分)19.(1)证明:过点 作 于 ,连结 ,由平面 平面 知DHEF,BHGAEFDBCF平面 ,而 平面 故 又 为 的中点, 四边形DHEBCFG,C,D2,x为正方形,G,又 故 平面
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