江西师范大学附属中学 2015 届高三数学上学期期末考试试题 理一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数 满足 （其中 为虚数单位） ，则 的共轭复数的模为（ ）Z(2)5iiZA B2 C D3 62设集合 ，则 =( )21|ln(3),|lg()xyxByx(RABIrA B C D(0,1),(01),U3,03下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）命题“若 则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”；230,xx1x20x（2）在回归直线 中， 增加 1 个单位时， 一定减少 2 个单位；$1y y（3）若 为假命题，则 均为假命题；pq且 ,pq（4）命题 使得 ，则 均有 ；0:,xR20x:,pxRx（5）设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ；(,1)N0(1)P01()2PPA2 B3 C4 D54设 若 ，则 （ 0(sinco),kxd82801()kxaxaxL128aL）A B0 C1 D25615已知实数 a、 b、 c、 d 成等比数列，且对于函数 ，当 时取到极大值 ，lnybc则 （ ）dA B0 C1 D26平行四边形 中， ， ， 是线段 上一点，且满足ACD4A06,BMDC，若 为平行四边形 内任意一点(含边界）,则 的最大值为（ 14DMurNBANur）A13 B0 C8 D57双曲线 的左右焦点分别为 ，且 恰为抛物线 的焦点，设双曲线 与该12,F224yx抛物线的一个交点为 ，若 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率为A1AC（ ）A B C D2338. 在三棱锥 中， 平面 ， ， 为侧棱 上的一点，它的正PBCP视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（ ）A 平面 ，且三棱锥 的DCDA体积为 83B 平面 ，且三棱锥 的A体积为C 平面 ，且三棱锥 的体积为ADPBCDABC163D 平面 ，且三棱锥 的体积为9某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教（每地 1 人） ，其中甲和乙不同 去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有（ ）A150 种 B300 种 C600 种 D900 种10在 中， a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边， ，且满足 ，若C bcsincosBA点 是 外一点， , ,则平面四边形 面积的最O(0)AO2OABOC大值是（ ）A B C3 D853445345211设椭圆方程为 ，右焦点 ,方程 的两实21(0)xyab(,0)Fc0axbc根分别为 ，则 必在（ ）12,2(,)PA圆 内 B圆 外xy2xyC圆 上 D圆 与圆 形成的圆环之间12xy12已知 定义在 上单调函数，且对任意的 ，都有 ，()f(0,)(0,)2()log3fx则方程 的解所在区间是（ ）2xA B C D1(0,)21(,)(1,2)(2,3)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 如图所示的程序框图的运行结果为 ，那么判断框中应填入的关于 的条件是 3Sk14. 已知 且 ，则 = (0,)2tan()34lg(sin2cos)lg(3incos)15. 请阅读下列材料，若两个正实数 ， 满足 ，那么 .证明：构1a1a12a造函数 ，因为对一切实数 ，恒有21 2()()()fxxxx，所以 ，从而得 ，所以 .021)8012根据上述 证明方法，若 个正实数满足 时，你能得到的结论为 nnL16已知234213342013() ,()xxxxf gL设函数 且 的零点均在区间 内,(),Fxg()F,ab(,)Z则 的最小值为 ba三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）已知数列 满足条件：n11,2nata*()nN（1）判断数列 是否等比数列*()N（2）若 ，令 ，记1t12nCa123n nTCCL*()N求证： nn18 （本小题满分 12 分）PM 2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准 PM 2.5 日均值在 35 微克/立方米以下，空309521,GB气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间，空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上，空气质量为超标 。从某自然保护区 2012 年全年每天的 PM 2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM 2.5 日均值（微克/立方米） 25,35 (35,45 (45,55 (55,65 (65,75 (75,85频数 3 1 1 1 1 3（1）从这 10 天的 PM 2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（2）从这 10 天的数据中任取 3 天数据，记 表示抽到 PM 2.5 监测数据超 标的天数，求的分布列；（3）以这 10 天的 PM 2.5 日均值来估计一年的空所质量情况，则一年（按 365 天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）19 （本小题满分 12 分）已知梯形 中， ， = 、 分别是 、ABCD/BACBD,24,2ACDEFAB上的点， 是 的中点，沿 将梯形/,EFxGEF翻折，使平面 平面 （如图）E（1）当 时，求证：2x;B（2）若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 ，求()fx的最大值；()fx（3）当 取得最大值时，求二面角 的余弦值DBFC20 （本小题满分 12 分）已知双曲线 的中心为原点 ，左、右焦点分别为 、 ，离心率为2:1(0)4xyEaO1F2，点 是直线 上任意一点，点 在双曲线 上，且满足35P23QE0PQur（1）求实数 的值；a（2）证明：直线 与直线 的斜率之积是定值；QO（3）若点 的纵坐标为 1，过点 作动直线 与双曲线右支交于不同两点 ,在线段PPl MN上取异于点 的点 满足 ,证明：点 恒在一条定直线上.MN,N,H|MHN21 （本小题满分 12 分）已知定义域为 R 的函数 ，其中 R2()1xefaa（1）求实数 的取值范围，并讨论当 时， 的单调性；a0()fx（2）当 时，证明：当 时， .0,xf请考生从第 22、23、24 三题中任选一题作答，多选、多答，按所选的首题进行评分；不选，按本选考题的首题进行评分。22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图， 四点在同一圆上， 与 的延长线交于点 点 在 的延长线上,ABCDBCAD,EFBA（1）若 ,求 的值；1,32E（2）若 证明： .2,F/EF23 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知直线 为参数）经过椭圆 为参数）的左焦点cos,:inxmtly(t 2cos,:(3inxCy.F（1）求 的值；（2）设直线 与椭圆 交于 、 两点，求 的最大值和最小值.lCAB|FAB24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 2()log(|1|2|)fxxa（1）当 时，求函数 的定义域；4a)f（2）若对任意的 R,都有 成立，求实数 的取值范围.x()2fxa答案一 、选择题1C2解析： 选 C(3,1),)(,0)ABU3 （1）正， （2）错， （3）错， （4）正确（5）正确，选 B4 , ，选 BK0a18aL5由 ， 01ybxlnl11ybc，选 A,1adbcQ6建系如图，设 则(,)Nxy(2,3)(5,)MC，令 ,当它过点 时，23AMurZxy(5,3)=Z大 51选 A7 ,CQ21|12APFx1Ax(,)由 ,即21|21aa，选 Bt8由正视图可知， ，且点 为线段 的中点，所以 ，由侧视图可知，PACDPCADPC,因为 平面 所以 ，又因为 且 ，所以4BC,B,I平面 ，所以 ，又因为 ，且 ，所以可得 平面BABI， ，选 CP116()323DABCACVPS9甲丙同去，乙不去，有 2450CA甲丙同不去，乙去有 34甲、乙、丙都不去有 5120种2406N选 C10由已知得 又sin()siinsi,ABCAcabc等边三角形 2 2135354cos,2sisinos44OACBABSB选 A58sin()3411 ，12bxaQ12cxa选 D22 2() (1)(,)e12令 0220log()logxfxfx03fx令 0,()l3f2()logf21()2()log0lnfxxx选 C10,gQ13. K614. 015. 12naaL16. 2320111(0),() 0,()12345203ff fxxL L易知当 时， ；当 时，x0fx2203()fx在 上恒成立，故 在 R 上是增函数()0fR()fx又 ， 只有一个零点，记为 ，则1ff 1x(,0)同理可证明 也只有一个零点，记为 且()gx2,(,)故 有 2 个不同零点 即将 向左平移 3 个单位， 即将 向()34)Ff34,.x1x4x2右平移 4 个单位， 3(4,)x4(5,6)x又函数 的零点均在区间 内，且 ，故当 时，即 的最()F,ab,baZ4,6aba小值为 641017解（1）当 时， 不是等比数列，当 时， 是以 为首项，21tna1tna1t为等比的等比数列（6 分）（2） （8 分）na （10 分）1112()2nnnnnCa （12 分）111()372n nnnTL18.（1）记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中，随机抽出 3 天，恰有一天空气质量达到一级”为事件 A，则（4 分）12370()4CP（2）依据条件， 服从超几何分布，其中 的可能取值为10,3,NMn0，1，2，3，3710()(,23)kCP其分布列为0 1 2 3724240740120（8 分）（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 71P设一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ，则(365,0.)B:3650.72.56E估计一年中平均有 256 天的空气质量达到一级或二级（12 分）19.（1）证明：过点 作 于 ，连结 ，由平面 平面 知DHEF,BHGAEFDBCF平面 ，而 平面 故 又 为 的中点， 四边形DHEBCFG,C,D2,x为正方形，G,又 故 平面