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江西省九江七校 2013-2014 学年高二数学下学期期中联考试卷 理一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)1复数 Z= 的虚部为( )i 21 2iA1 B -1 Ci Di 2要证明 2 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()3 7 5A综合法 B分析法 C.反证法 D归纳法3. 设函数 ()yfx在 R 上可导,则 xffx3)1(lim0等于( )A (1)f B 3(1)f C. ()fD以上都不对4.否定:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( )Aa,b,c 都是偶数Ba,b,c 都是奇数Ca,b,c 中至少有两个偶数Da,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数5.设 1,0,22)(xf,则 20)(dxf等于( )A. B. C. D不存在34 45 566.设*211() ()23SnnnNL,当 2时, ()S( )A 2B C 4 D1345已知函数 f(x) x24x3ln x 在t,t1上不单调,则 t 的取值范围是( )12A(0,1)(2,3) B(0,2) C(0,3) D(0,12,3)8.在 R 上定义运算:x y x(1y)若不等式(xa) (xa)1 对任意实数 x 都成立,则( )A1a1 B0a2C a D a12 32 32 129.若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根个数是A.3 B.4 C.5 D.610.如图,一条螺旋线是用以下方法画成:ABC 中边长为 1 的正三角形,曲线 CA1, 21A、 3 是分别以 A、B、C 为圆心,AC、 1BA、 2C为半径画的圆弧,曲线 32AC记为螺旋线的第一圈。然后又以 A 为圆心, 3为半径画圆弧.这样画到第 n 圈,则所得螺旋线的长度 nl为( )A. )(2nB. )3(2nC. D.1二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)11.已知复数 z ,其中 i 是虚数单位,则|z|_.2 i1 i12.函数 f(x)=x-ln(x+1)的减区间是 .13.函数 20ac,若 100fxdf,其中 01x,则 0等于 . 14现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一个平面内有两个边长都是a 的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在a24另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为_定义在区间a,b上的连续函数 y=f(x) ,如果a,b,使得f(b)-f(a)=f() (b-a) ,则称 为区间a,b上的“中值点” 下列函数:f(x)=3x+2;f(x)=x2-x+1;f(x)=ln(x+1) ;3)21()xf在区间0,1上“中值点”多于一个的函数序号为 .三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16 (12 分)已知曲线 baxf3)(的图象经过点 (0,1),且在 x处的切线方程是 13xy,(1)求 )(xfy的解析式; (2)求曲线过点 ,的切线的方程.17 (12 分)若 ,xy都是正实数,且 2,xy求证:12xy与y中至少有一个成立.18 (12 分)已知数列 na的前 n 项和为 nS满足21nS,且*1,2anN(1)试求出 123,S的值;(2)根据 的值猜想出 n关于 n 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论19.(12 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度) 设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h米,体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000 元( 为圆周率) ()将 V 表示成 r 的函数 V(r) ,并求该函数的定义域;()讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大20 (本小题满分 13 分)已知函数()(0)afxbx,其中 abR, ()若曲线 yf在点 2(Pf, 处的切线方程为 31yx,求函数 ()fx的解析式;()讨论函数 ()x的单调性;()若对于任意的12a,不等式 ()10fx 在 4,上恒成立,求 b的取值范围21.(14 分)如图,已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,过点(0,0) , (1,0)和(2,6).直线 l1:x=2,直线 l2:y=3tx(其中-1t1,t 为常数) ;若直线 l2 与函数 f(x)的图象以及直线 l1,l2 与函数f(x)以及的图象所围成的封闭图形如阴影所示(1)求 y=f(x) ;(2)求阴影面积 s 关于 t 的函数 y=s(t)的解析式;(3)若过点 A(1, m) )4(可做曲线 )(Rts的三条切线,求实数 的取值范围.高二数学(理科)参考答案一选择题(10*5=50)二填空题(5*5=25)12.(-1,0) 13.314. 15.102 a38解答题(12+12+12+12+13+14=75)16.(1)解:因为2/)(xf所以 af3)(/,又因为函数在 1处的切线方程是 13xy所以 1又因为 bxf3)(的图像过(0,1)所以 b所以 )(3f.6 分(2)解:设函数在切点(1,0)处的斜率为 k所以 3)1(/fk由点斜式可得切线方程为xy.12 分17.证明:假设12和yx都不成立,则有21yx和y同时成立,因为 0x且 y,所以 21且 x两式相加,得 y2.所以 yx,这与已知条件 x矛盾.因此12和y中至少有一个成立。.12 分序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B C D C C A C A A解:(1) 211as, 34s,9.3 分(2)由(1)猜想 12n.5 分(i)当 n=1 时,左边= 21as,右边= 12= ,所以等式成立。.7 分(ii)假设 n=k 时成立,即 k.8 分则当 n=k+1 时,左边= 2)1(1.)(21)1( 22 kksskk右边。 当 n=k+1 时,等式成立。.11 分由(i) (ii)可知,对 *Nn,等式成立.12 分()蓄水池的侧面积的建造成本为 200rh 元,底面积成本为 160r2 元,蓄水池的总建造成本为 200rh+160r2 元,即 200rh+160r2=12000)430(512rh)430(5)430(51( 322 rrrhV又由 r0,h0 可得 0r5 ,故函数 V(r)的定义域为(0,5 3).6 分()由()中)40()r, (0r5 )可得 V(r)=)123(5, (0r5 3) 。令 V(r)=)0(2=0 则 r=5.当 r(0,5)时,V(r)0,函数 V(r)为增函数当 r )3,(,V(r)0,函数 V(r)为减函数,且当 r=5,h=8 时该蓄水池的体积最大.12 分20 ()解: 2()1afx,由导数的几何意义得 (2)3f,于是 8a由切点 2Pf, 在直线 31yx上可得 7b,解得 9 所以函数 ()fx的解析式为8()9fx.3 分()解: 21af当 0a 时,显然 ()0)fx,这时 ()fx在 0) , , (), 内是增函数当 时,令 ,解得 a当 x变化时, ()fx, f的变化情况如下表: ) , (0), ()a, ()a, ()fx00 极大值 极小值 所以 ()fx在 a , , 内是增函数,在 (0)a, , (), 内是减函数.7 分()解:由()知, ()fx在14,上的最大值为14f与 ()f中的较大者,对于任意的12a,不等式 ()10fx 在,上恒成立,当且仅当4(1)0f , ,即394ba ,对任意的12,成立从而得74b,所以满足条件的 b的取值范围是74 ,.13 分(1)由二次函数过点(0,0) , (1,0)和(2,6) ,得0624cbac,解得30abc函数 f(x)的解析式为 f(x)=3x2-3x.3 分ytx32得 x2-(1+t)x=0 ,x1=0,x2=1+t,-1t1,直线 l2 与 f(x)的图象的交点横坐标分别为 0,1+t,且 0t+12,.5 分由定积分的几何意义知: 21102 3)()3()( tt dxtxds 2131032 )()1( tt xxxt=(1+t)3+2-6t,即 s(t)的解析式 s(t)=(1+t)3+2-6t, (-1t1).7 分曲线方程为 s(t)=(1+t)3+2-6t, 6)(3)2 tts,又点 A(1,m),m4 不在曲线上,设切点 M 为(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 030062)1(xy, 6)(3)20 xs,切线的斜率为 )1()200 xs= 12)(03xm,整理得 2x036x0+m0,过点 A(1,m)可作曲线三条,有三个不等实根.设 g(x0)=2x036x0+m,则 g(x0)6x026,由 g(x0)0,得 x01 或 x0-1;由 g(x0)0 得-1x01,g(x0)在区间(-,-1) , (1,+)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,当 x0=-1 时,函数 g(x0)取极大值,当 x0=1 时,函数 g(x0)取极小值,因此,关于 x0 的方程 2x036x0+m0 有三个不等实根的充要条件是0)1(g,解得-4m4,故实数 m 的取值范围是 (-4,4).14 分
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