河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修 1第 1章 集合与函数概念-4.示范教案（2.1 函数的概念 第 2课时）复 习1.函数的概念.2.函数的定义域的求法.导入新课思路 1.当实数 a、b 的符号相同,绝对值相等时,实数 a=b;当集合 A、B 中元素完全相同时,集合 A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等.思路 2.我们学习了函数的概念,y=x 与 y= 是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容,x2引出课题:函数相等.推进新课新知探究提出问题指出函数 y=x+1的构成要素有几部分？一个函数的构成要素有几部分？分别写出函数 y=x+1和函数 y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.函数 y=x+1和函数 y=t+1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？由此你对函数的三要素有什么新的认识？讨论结果：函数 y=x+1的构成要素为:定义域 R,对应关系 xx+1,值域是 R.一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.定义域和对应关系分别相同.值域相同.如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.应用示例思路 11.下列函数中哪个与函数 y=x相等？(1)y=( )2;(2)y= ;(3)y= ;(4)y= .x3x2x2活动：让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.解：函数 y=x的定义域是 R,对应关系是 xx.(1)函数 y=( )2的定义域是0,+),x函数 y=( )2与函数 y=x的定义域 R不相同.函数 y=( )2与函数 y=x不相等.x(2)函数 y= 的定义域是 R,3函数 y= 与函数 y=x的定义域 R相同.x又y= =x,3函数 y= 与函数 y=x的对应关系也相同.x函数 y= 与函数 y=x相等.3(3)函数 y= 的定义域是 R,2函数 y= 与函数 y=x的定义域 R相同.x又y= =|x|,2函数 y= 与函数 y=x的对应关系不相同.函数 y= 与函数 y=x不相等.2x(4)函数 y= 的定义域是(-,0)(0,+),函数 y= 与函数 y=x的定义域 R不相同,x2函数 y=( )2与函数 y=x不相等.点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.变式训练判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.y=x-1,xR 与 y=x-1,xN;y= 与 y= ;4-x22xy=1+ 与 u=1+ ;1y=x 2与 y=x ;2y=2|x|与 y=;0,2xy=f(x)与 y=f(u).是同一个函数的是_(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.前者的定义域是 R,后者的定义域是 N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;前者的定义域是x|x2 或 x-2,后者的定义域是x|x2,它们的定义域不同,故不是同一个函数;定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加 1,那么值域必相同,故是同一个函数;定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;函数 y=2|x|= 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函0,2x数;定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.故填.思路 21.判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由.(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1.(2)f(x)=x-1,g(x)= .12x-(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2.(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.活动：学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同.解：(1)f(x)=(x-1) 0的定义域是x|x1,函数 g(x)=1的定义域是 R,函数 f(x)=(x-1)0与函数 g(x)=1的定义域不同.函数 f(x)=(x-1)0与函数 g(x)=1不表示同一个函数.(2)f(x)=x-1 的定义域是 R,g(x)= = 的定义域是 R,12x-2)-(函数 f(x)=x-1与函数 g(x)= 的定义域相同.又g(x)= = =|x-1|,12x-2)-(函数 f(x)=x-1与函数 g(x)= 的对应关系不同.1x函数 f(x)=x-1与函数 g(x)= 不表示同一个函数.2-(3)很明显 f(x)=x2和 g(x)=(x+1)2的定义域都是 R,又f(x)=x 2和 g(x)=(x+1)2的对应关系不同,函数 f(x)=x2和 g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.(4)很明显 f(x)=x2-1与 g(u)=u2-1的定义域都是 R,又f(x)=x 2-1与 g(u)=u2-1的对应关系也相同,函数 f(x)=x2-1与 g(u)=u2-1表示同一个函数.变式训练1.2007湖北黄冈模拟,理 13已知函数 f(x)满足 f(ab)=f(a)+f(b)且 f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=_.解：由题意得 f(36)=f(66)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(23)=2f(2)+f(3)=2p+2q.答案：2p+2q2.函数 y=f(x)的图象与直线 x=2的公共点共有( )A.0个 B.1 个 C.0 个或 1个 D.不确定答案：C2.设 y是 u的函数 y=f(u),而 u又是 x的函数 u=g(x),设 M表示 u=g(x)的定义域,N 是函数y=f(u)的值域,当 MN 时,则 y成为 x的函数,记为 y=fg(x).这个函数叫做由 y=f(u)及 u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为 MN,u 叫做中间变量,f 称为外层函数,g 称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.(1)y= ;(2)y=(x2-2x+3)2;(3)y= -1.1xx12活动：让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么.解：(1)设 y= ,u=x+1,u即 y= 的外层函数是反比例函数 y= ,内层函数是一次函数 u=x+1.1xu1(2)设 y=u2,u=x2-2x+3,即 y=(x2-2x+3)2的外层函数是二次函数 y=u2,内层函数是二次函数 u=x2-2x+3.(3)设 y=u2+u-1,u= ,x即 y= -1的外层函数是二次函数 y=u2+u-1,内层函数是反比例函数 u= .x12 x1点评：到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.变式训练1.2004重庆高考,文 2设 f(x)= ,则 =_.12x)(f答案：-12.2006安徽高考,理 15函数 f(x)对任意实数 x满足条件 f(x+2)= ,若 f(1)=-5,则)(1xfff(5)=.分析:函数 f(x)对任意实数 x满足条件 f(x+2)= ,f(x+4)=f(x+2)+1=)(xf=f(x).)2(1xff(1)=f(1+4)=f(5).又f(1)=-5,f(5)=-5.ff(5)=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)= = .)1(f5答案： 51知能训练1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是( )A. B. C. D.图 1-2-1-2答案：B2.函数 y=f(x)的定义域是 R,值域是1,2,则函数 y=f(2x-1)的值域是_.答案：1,23.下列各组函数是同一个函数的有_.f(x)= ,g(x)=x ;f(x)=x 0,g(x)= ;3x01xf(x)= ,g(u)= ;f(x)=-x 2+2x,g(u)=-u2+2u.u2答案：拓展提升问题:函数 y=f(x)的图象与直线 x=m有几个交点？探究:设函数 y=f(x)定义域是 D,当 mD 时,根据函数的定义知 f(m)唯一,则函数 y=f(x)的图象上横坐标为 m的点仅有一个(m,f(m),即此时函数 y=f(x)的图象与直线 x=m仅有一个交点;当 mD 时,根据函数的定义知 f(m)不存在,则函数 y=f(x)的图象上横坐标为 m的点不存在,即此时函数 y=f(x)的图象与直线 x=m没有交点.综上所得,函数 y=f(x)的图象与直线 x=m有交点时仅有一个,或没有交点.课堂小结(1)复习了函数的概念,总结了函数的三要素;(2)学习了复合函数的概念;(3)判断两个函数是否是同一个函数.作业1.设 M=x|-2x2,N=y|0y2,给出下列 4个图形,其中能表示以集合 M为定义域,N为值域的函数关系是( )图 1-2-1-3分析:A 中,当 0x2 时,N 中没有元素与 x对应,不能构成函数关系;C 中一个 x有两个 y与之对应,所以不是函数关系;D 中,表示函数关系,但是表示的函数值域不是 N.答案：B2.某公司生产某种产品的成本为 1000元,以 1100元的价格批发出去,随生产产品数量的增加,公司收入_,它们之间是关系_.分析:由题意,多生产一单位产品则多收入 100元.生产产品数量看成是自变量,公司收入看成是因变量,容易得出对于自变量的每一个确定值,因变量都有唯一确定值与之对应,从而判断两者是函数关系.答案：增加 函数3.函数 y=x2与 S=t2是同一函数吗?答:函数的确定只与定义域与对应关系有关,而与所表示的字母无关,因此 y=x2与 S=t2表示的是同一个函数.因此并非字母不同便是不同的函数,这是由函数的本质决定的.设计感想本节教学内容主要是依据高考说明,对课本内容适当拓展,重点对函数的相等问题进行了引申,设计时对拓展的内容采取渐进式,设计时本着逐步提高、拓展,不能急于求成,否则事倍功半.