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2014 届高三襄阳五中、钟祥一中、夷陵中学五月联考数学试卷(理科)考试时间:2014 年 5 月 17 日下午 3.00-5.00 试卷满分:150 分一、 选择题(每题 5 分,共 50 分)1复数 i432在复平面内对应的点与原点的距离为A1 B 2 C 2 D2 2当 时,则下列大小关系正确的是 0xA x33log B C xx3log3 Dxx3log33logx3已知 , 表示两个相交的平面,直线 l 在平面 a 内且不是平面 , 的交线,则“l是“ ”的A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4 某学生四次模拟考试时,其英语作文的减分情况如下表:考试次数 x 1 2 3 4所减分数 y 4.5 4 3 2.5显然所减分数 y 与模拟考试次数 x 之间有较好的线性相关关系,则其线性回归方程为A B 5.7.0x 25.6.0xyC D2675若一个底面是等腰直角三角形(C 为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于A 31 B1 C 3 D6实数 x,y 满足 bxy02,则 yxz2的最小值为 3,则实数 b 的值为 A 94 B 94 C D 497如图,在矩形 OABC内:记曲线 3yx与直线yx围成的区域为 M(图中阴影部分) 随机往矩形 内投一点 P,则点 落在区域 内的概率是( )A 18 B. 732 C. 5 D 168如果 ,12101 .aa那么 20422531 ).().(a的值是A1 B0 C3 D19点 P 在双曲线 ),(12bayx上,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点F 1PF2=90,且F 1PF2的三条边长之比为 3:4:5则双曲线的渐近线方程是A y3 B x C xyD xy6210定义域为 a,b的函数 y=f(x)图象的两个端点为 A、 B,向量 ,OBAON)1(M(x,y)是 f(x)图象上任意一点,其中 . 若不等式| MN| k 恒成,0,)1(ba立,则称函数 f(x)在 a,b上满足“ k 范围线性近似” ,其中最小的正实数 k 称 为该函数的线性近似阀值下列定义在1,2上函数中,线性近似阀值最 小的是 ( )(A)y=x2 (B) y= (C) y=sin (D) y=x-x23x1二、填空题(本大题共 5-11 题,每小题 5 分,满分 25 分1 11 4 题为必做题,1 5 题、16 题为选做题):必做题11执行如图 2 所示的程序框图 ,若输出 ,则输入 的7SkN值为 .1210 名运动员中有 2 名老队员和 8 名新队员,现从中选 3 人参加团体比赛,要求老队员至多 1 人入选且新队员甲不能人选的选法有种13已知 a, b 均为正数且2222 sinco,6sincobaba则的最大值为 14已知等比数列 1n和等差 1n,数列 na的项由 n和 c中的项构成且1,在数列 的第 k和第 项之间依次插入 k个 中的项,即:记数 列 na的前., 41210987365432 bcccc n项和为 nS,则 20 ; 2014S 选做题(请在下列 2 道题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分):15 (平面几何选讲)如图,ABC 中 AB=AC,ABC=72,圆 0 过 A,B 且与 BC 切于 B 点,与 AC 交于 D 点,连 BD若 BC=2,则 AC= 16 (参数方程和极坐标)已知曲线 C 的极坐标方程为 =6 sin ,以极点为原点,极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 123,tyx(t 为参数) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段长度 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤):17 (本小题满分 12 分)在 ABC 中,已知 , 求:9ACB16B(1) AB 的值;(2) 的值 sin()ABC18 (本小题满分 12 分)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30 天)的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据,制表如下:甲公司某员工 A 乙公司某员工 B3 9 6 5 8 3 3 2 3 4 6 6 6 7 70 1 4 4 2 2 2每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下:甲公司规定每件 4.5 元;乙公司规定每天 35 件以内(含 35 件)的部分每件 4 元,超出 35 件的部分每件 7 元. ()根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数;()为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况,从这 10 天中随机抽取 1 天,他所得的劳务费记为 (单位:元) ,求 的分布列和数学期望;XX()根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.19(本小题满分 12 分) 在四棱锥 PCD中,底面 AB是矩形, PA平面 , 4A, 2. 以C的中点 O为球心、 为直径的球面交 于点 M,交于点 N.()求证:平面 BM平面 ; ()求直线 CD与平面 AM所成的角的正弦值;()求点 N到平面 的距离.20(本小题满分 12 分) 已知数列 na满足 nnnaa3,)1(,1212( *N)(1)求 753、 的值;(2)求 12(用含 的式子表示);(3)记数列 n的前 项和为 nS,求 (用含 的式子表示)21 (本小题满分 13 分)已知双曲线 的中心为原点 ,左、右焦点分别为 、 ,离心2:104xyEaO1F2率为 ,点 是直线 上任意一点,点 在双曲线 上,且满足 .35P3QE0QP(1)求实数 的值;a(2)证明:直线 与直线 的斜率之积是定值;QO(3)若点 的纵坐标为 ,过点 作动直线 与双曲线右支交于不同的两点 、 ,在1Pl MN线段 上取异于点 、 的点 ,满足 ,证明点 恒在一条定直线上.MNNHMHN22(本小题满分 14 分) 已知函数 ( )(e1xfaR()求函数 的单调区间;()函数 在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零点;)lnFf若不存在,请说明理由;()若 ,当 时,不等式 恒成立,求 a 的(le1xg(0,)x()(fgxf取值范围2014 届高三 襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中 五月联考数学(理科)参考答案15 BCADB 610 CCDDD11. 3 12. 77 13. 14. 16 1936 15. 15 16. 42617. 18. ()甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36,众数为 33. -2 分()设 为乙公司员工 B 投递件数,则a当 =34 时, =136 元,当 35 时, 元,Xa354()7Xa的可能取值为 136,147,154,189,203 -4 分说明: X 取值都对给 4 分,若计算有错,在 4 分基础上错 1 个扣 1 分,4 分扣完为止的分布列为: 136 147 154 189 203P1032030-8 分说明:每个概率值给 1 分,不化简不扣分,随机变量值计算错误的此处不再重复扣分 3231()364751892000EX-5=.()元-10 分()根据图中数据,可估算甲公司被抽取员工该月收入 4860 元,乙公司被抽取员工该月收入 4965 元. -12 分 19. ()依题设知,AC 是所作球面的直径,则 AMMC。又因为 P A平面 ABCD,则 PACD,又 CDAD,所以 CD平面,则 CDAM,所以 A M平面 PCD,所以平面 ABM平面 PCD -4 分方法一:()由(1)知, MPD,又 A,则 是 的中点可得,2A, 23C则 16CS设 D 到平面 ACM 的距离为 h,由 ACMACDV 即 28,可求得263h,设所求角为 ,则6sin3. -分 8()可求得 PC=6, 因为 ANNC,由 PNAC,得 PN 3,所以 :5:9NCP,故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距 离的 59.又因为 M 是 PD 的中点,则 P、D 到平面 ACM 的距离相等,由()可知所求距离为 5106927h . -12 分方法二:()如图所示,建立空 间直角坐标系,则 (0,)A, (,04)P, (,0)B, 24C, D, 2;设平面 M的一个法向量 ,nxyzr由 ,nrur可得: 0,令 1z,则 (2,1).3 分6 分9 分12 分zyxNODMCBPA设所求角为 ,则 6sin3CDur.-8 分()由条件可得, AN.在 RtPC中, 2PC,所以 83,则 103N, 59,所以所求距离等于点 到平面 AM距离的 ,设点 P到平面 C距离为 h则 263Pnur,所以所求距离为 5106927. -12 分20解(1) Q nnnaa3,)1(,1212( *N), 23425637()0,1,9.aa-3(2)由题知,有 *21(1)N)nna213235 121121212531()(3)()()()nn n nnaaa MLL *213()1N)na-6(3) (2nn, *23(1)N)na 213又 1nnSaL,0当 为偶数时, 12341()()()n nSa22n-902当 n为奇数时, 13421()()()n nnSaaaL11223( 123()nn综上
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