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河北省保定市重点高中 2015届高三数学 12月联考试题 理1已知复数 z= 312i(i 为虚数单位) ,则复数 z为( )A 7iB 175iC 175iD 175i2已知 , ,则 AIB为( )2|logx|3xA (0, 12) B (0, 2)C (-1, ) D (-1, )3若等比数列 的前 项和为 ,且 , ,则 ( )nanS3142a4A16 B16 或-16 C-54 D16 或-544. 已知命题 xRxplg2,:,命题 0,:2xRq,则( )A.命题 q是假命题 B.命题 p是真命题C.命题 )(是真命题 D.命题 )(是假命题5某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的x的值是A2 B. 92C. 32D. 36阅读程序框图,若输入 4,6mn,则输出 ,ai分别是( ) A 1,3ai B 1ai C 8 D84输入 ,mn1iaii结束输出 ,ai被 整除n是 否开始(第 6题图)7若将函数 xxfcos41sin3)(的图象向右平移 个单位长度,得到的(0)m图象关于原点对称,则 ( )mA 65 B 6C 32 D 38.在ABC 中,AD 为 BC边上的高,给出下列结论: ; ; 。()0Durrg|2|Aurur|sin|ACBurg以上结论正确的个数为()A0 B1 C2 D39. 已知数列 na中满足 5, 1na,则 n的最小值为( )A. 7 B. 2 C.9 D. 42710若函数 在区间 上的值域为 ,则 ( 1()sixf,(0)k,mn)A0 B1 C2 D411.如图,棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P 为线段 A1B上的动点,则下列结论错误的是( )A. B.平面 平面 1DCP11PC. 的最大值为 D. 的最小值为A90oAP212.已知圆 和圆 ,动圆 与圆 和圆21:()16Oxy22:(0)OxyrM1O都相切,动圆圆心 的轨迹为两个椭圆,设这两个椭圆的离心率分别为 和 (2Me2) ,则 的最小值为( )1e12eA B C D343238二、填空题:(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分)13.记直线 的倾斜角为 ,曲线 在 处切线的倾斜角为 ,则310xylnyx(,l)。(第 11 题图)14.设关于 x,y 的不等式组210,.xym表示的平面区域内存在点 0,Pxy满足02,则的取值范围是_。15.已知双曲线2:1(0,)xyCab 的左、右焦点分别为 12,F,点 (,)M为双曲线右支上一点,且 2F在以线段 1M为直径的圆的圆周上,则双曲线 C的离心率为 。16已知 ABC的三个顶点在以 O为球心的球面上,且 2cos3A ,BC=1,AC=3,三棱锥 O- ABC的体积为 146,则球 O的表面积为_。三、解答题:本大题共 6小题,共 70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(本小题 10分)设 ABC的内角 ,的对边分别为 cba,,满足CcBbasin)32(sin)32(sin()求角 的大小;()若 , ,求 A的面积18.(本小题 12分)已知函数 2sin3sicosinsi,4fxxxxR.()求 f的最小正周期和单调增区间;()若 02xfx为 的一个零点,求 0cos2x的值.19.(本小题 12分)设等差数列 的前 项和为 , , 。nanS421na()求数列 的通项公式;()设数列 的前 项和为 ,且 , ,求数nbnT()2n为 常 数 *2()ncbN列 的前 项和为 。ncR20. (本小题 12分)如图,在四棱锥 ABCDP中, 底面 ABCD,底面 ABCD是直角梯形, ADB,AB/, 22CDAB,E 是 PB的中点。()求证:平面 平面 PBC;()若 二 面 角 P的 余 弦 值 为 36,求 直 线 PA与 平 面 EAC所 成 角 的 正 弦 值 。21.(本小题 12分)过椭圆 2:10xyab 1( a b0)右焦点 F2的直线交椭圆于 A, B两点,x2a2 y2b2F1为其左焦点,已知 AF1B的周长为 8,椭圆的离心率为 .32()求椭圆 C的方程;()是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C恒有两个交点 P, Q,且 ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由OP OQ 22.(本小题 12分)已知函数 .()ln(1)(fxxaR() 若 =0,判断函数 的单调性;af() 若 时, 0 恒成立,求 的取值范围.1x()fxa高三理科答案1-5 BADCD 6-10 AADDD 11-12 CA第 11、12 题解析:13. 14. 15. 12 16. 642(,)3()由正弦定理可知 BbAasini,又 2a, 3b, 6A,所以 23sinB 又 ,所以该三角形由两个解,故 3或 7 分bAa若 3,则 2C,于是 21abSABC; 9 分若 B,则 6,于是 sin 10分()因为 ,001()2sin()62fxx所以 。1sin64因为 ,所以 ,02x05x所以 。015cos()64.10分00cos2()6x0cosin(2)si6x1531()42。.8.12分19.解析:()设等差数列 的公差为 ,则nad,114684(2)2(1)adnand解得 , 。1所以 。*()naN.5分20.解析:()证明: PCQ平面 ABCD, AC平面 ABCD, PCA,2AB , 1D, 2B2C, A又 PI, 平面 PBC, 平面 EAC, 平面 E平面 PBC 6分()以 C为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,1,0) 。设 P(0,0,a) (a0) ,则 E( 2, , a) , ),1(, ),0(a, )2,(C,PA BCDExyz取 m=(1,1,0)8 分则 CAP, 为面 PAC的法向量。mur设 ),(zyxn为面 EAC的法向量,则 0CEnA,即 0a,取 ax, y, 2z,则 )2,(n,依题意, 362,cosanm,则 2a。于是 )2,(n设直线 PA与平面 EAC所成角为 ,则 32,cosinnPA,即直线 PA与平面 EAC所成角的正弦值为 32。12 分21.解析:()由已知得Error!解得Error!(2 分) b2 a2 c21,故椭圆 C的方程为 y21. (4 分)x24()假设满足条件的圆存在,其方程为 x2 y2 r2(0 r1)当直线 PQ的斜率存在时,设其方程为 y kx t, 由Error!消去 y整理得(14 k2)x28 ktx4 t240. 设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则 x1 x2 , x1x2 . (6 分)8kt1 4k2 4t2 41 4k2 , x1x2 y1y20.又 y1 kx1 t, y2 kx2 t,OP OQ x1x2( kx1 t)(kx2 t)0,即(1 k2)x1x2 kt(x1 x2) t20. 将代入得 t20, 1 k2 4t2 41 4k2 8k2t21 4k2即 t2 (1 k2) (8 分)45直线 PQ与圆 x2 y2 r2相切, r (0,1),|t|1 k2 45 1 k21 k2 255存在圆 x2 y2 满足条件 (10 分)45( )当直线 PQ的斜率不存在时,也适合 x2 y2 . 45综上所述,存在圆心在原点的圆 x2 y2 满足条件 (12 分)4522.解析:()若 , ,0a()ln1f()lnfx为减函数, 为增函数.4 分(0,1),xfxf(,0,xf() 在 恒成立.ln()1)(1)若 , , ,0alnfxx()lnfx为增函数.(,)(,()x,f即 不成立; ()0x不成立.6 分a(2) , 在 恒成立,1xQ(1)ln0,xa1不妨设 ,()()l ,hx,x, 8分2 21()() aax1,, 120,h若 ,则 ,a21ax, , 为增函数, (不合题意) ;1x()0h()()hx10若 ,2a, , 为增函数, (不合题意) ;1(,)x(0hx()()hx10若 , , , 为减函数, (符合题意).11 分2a,)()h综上所述若 时, 恒成立,则 .12分1x()0fx12a
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