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一次不定方程(组)及方程的整数解问题【写在前面】不定方程(组)是数论中的一个重要课题,不仅是数学竞赛,甚至在中考试卷中也常常出现. 对于不定方程(组) ,我们往往只求整数解,甚至是只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.【本讲重点】求一次不定方程(组)的整数解【知识梳理】不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组) ,其特点是往往有无穷多个解,不能唯一确定.重要定理:设 a、b、c、d 为整数,则不定方程 有:cbyax定理 1 若 且 d 不能整除 c,则不定方程 没有整数解;,),(cbyax定理 2 若 是不定方程 且的一组整数解(称为特解) ,则 (t 为整数)是,0yxbyax aybx0,方程的全部整数解(称为通解). (其中 ,且 d 能整除 c).),(定理 3 若 是不定方程 , 的特解,则 是方程 的一个),(0yx1byaxa),(0cyxcbyx特解. (其中 ,且 d 能整除 c).ba求整系数不定方程 的正整数解,通常有以下步骤:yx(1) 判断有无整数解;(2) 求出一个特解;(3) 写出通解;(4) 有整数 t 同时要满足的条件(不等式组) ,代入命题(2)中的表达式,写出不定方程的正整数解.解不定方程(组) ,需要依据方程(组)的特点,并灵活运用以下知识和方法:(1)分离整系数法; (2)穷举法; (3)因式分解法; (4)配方法; (5)整数的整除性; (6)奇偶分析; (7)不等式分析; (8)乘法公式. 【学法指导】【例 1】求下列不定方程的整数解(1) ; (2) .862yx1305yx【分析】根据定理 1、定理 2 确定方程的整数解.【解答】 (1)原方程变形为: , 观察得到 是 的一组整数解(特解) ,43yx1,y4yx根据定理 2 , 是原方程的所有整数解.)(1,是 整 数t(2)(5,10)=5,但 5 不能整除 13,根据定理 1,原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解,多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解(1) ; (2) .147yx145yx答案:(1)无整数解;(2) )(51,是 整 数ty【例 2】求方程 的所有正整数解.2397x【分析】此方程的系数较大,不易用观察法得出特解.根据方程用 y 来表示 x ,再将含 y 的代数式分离出整系数部分,然后对分数系数部分进行讨论,赋予 y 不同的整数,寻找一个使分数系数部分成为正整数的 y0,然后再求 x0,写出通解,再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】(7,19)=1,根据定理 2,原方程有整数解.由原方程可得 ,753207531407913 yx 由此可观察出一组特解为 x0=25,y 0=2.方程的通解为 .)(2,5是 整 数ty其中 072,195t7,19t 725t0,1t代入通解可得原方程的正整数解为 .2,.9,6yxyx或【点评】根据定理 2 解这类方程,若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时,可用一个未知数去表示另一个未知数,再利用整数的知识,这是解二元一次不定方程基本的方法,称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来.【实践】求方程 的正整数解. 答案: x=4,y=3.2654731y【例 3】大客车能容纳 54 人,小客车能容纳 36 人,现有 378 人要乘车,问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用,根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车 x 辆,小客车 y 辆,根据题意可列方程 ,即 . 378654yx21yx又(3,2)=1,根据定理 2,原方程有整数解. 易知 是一个特解,通解为9,1)(9,1是 整 数tyx由题意可知 解得 相应地09,21t.3,21t .0,7.3,5.6,.9,1yxyx答:需要大客 1 车辆,小客车 9 辆;或需要大客车 3 辆,小客车 6 辆;或需要大客车 5 辆,小客车 3 辆;也可以只要大客车 7 辆,不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做 20 道小题,对 1 道得 8 分,错一道扣 5 分,不做不得分.某生共得 13 分,他没做的题目有几道?答案:7【例 4】某人的生日月份数乘以 31,生日的日期数乘以 12,相加后得 347,求此人的生日.【分析】本题的隐含条件是:月份的取值1,12 ,日期的取值 1,31.【解答】设此人生日的月份数为 x ,日期数 y. 根据题意可列方程 31x+12y=347. 方法一 方法二特解: )(316251是 整 数通 解 : tyyx )3147(|231472xxyQ16505)(modyxtt代 入 原 方 程 得 :把 是 整 数.165032是 符 合 题 意 解解 得yxttQ答:此人的生日为 5 月 16 日. 【点评】求出通解后,要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数,如果它本身增加 3,那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的 ,求一切31这样三位数的和. 答案:432【例 5】(新加坡数学竞赛题)设正整数 m,n 满足 ,则 m 的最大值为 .698nm【分析】把 m 用含有 n 的代数式表示,用分离整系数法,再结合整除的知识,求出 m 的最大值.【解答】 , ,698n69)(由题意可得,n8, ,8687298nnm,n 为正整数, 当 n=9 时,m 有最大值为 75.【点评】此题是求最值的问题,利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有 8 个连续的正整数,其和可以表示成 7 个连续的正整数的和,但不能 3 个连续的正整数的和,那么这 8 个连续的正整数中最大数的最小值是 . 答案:28【例 6】我国古代数学家张建丘所著算经中的“百钱买百鸡”问题:鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,问鸡翁,鸡母,鸡雏各几何? 【分析】分析:用 x,y,z 来表示鸡翁,鸡母,鸡雏的只数,则可列方程组:1035zyx如何解这个不定方程组?消元转化为不定方程.【解答】解:设鸡翁,鸡母,鸡雏的只数分别为 x,y,z.(2)3(1)得:14x+8y=200,即 7x+4y=100.)2(1035zyx方法一 )(7184.84是 整 数通 解 :,特 解 : tyx.2,00710tttyx解 得Q 84127814,zyxzyx原 方 程 有 三 组 解 :相 应 地方法二 下 面 的 方 法 同 方 法 一 为 整 数 )(通 解 :的 特 解是其 特 解 为令 .75043.1047503,147 tyxyxyyxyx 方法三 下 面 方 法 同 一 是 整 数得 :代 入把是 整 数 ,即, ).(7184718)3(4).(4 )(mod3:od1)70(|30 tyxtytxtx 【点评】充分挖掘题目的隐含条件,进而求整数解.【实践】如果 1 只兔可换 2 只鸡,2 只兔可换 3 只鸭,5 只兔可换 7 只鹅.某人用 20 只兔换得鸡、鸭、鹅共30 只.问:其中的鸡、鸭、鹅各多少只? 答案:(2,21,7) 、 (4,12,14) 、 (6,3,21)【例 7】求方程 的整数解.2372zyx【分析】对于三元一次不定方程,可以另外引进一个未知数,将其转化为方程组,然后分别解方程组中的各个方程,从而得到原方程的解.【解答】设 ,则原方程可看作 对于方程(1)x=-t,y=t 是一个特解,tyx32)2(.37,zttyx从而(1)的整数解是 )4(.2,-是 整 数uy又 t=2,z=3 是方程(2)的一个特解,于是( 2)的整数解是 )()6.725,3是 整 数vtz将(6)代入(3) 、 (4)消去 t 得到原方程的所有整数解为: )(.3,是 整 数、uvzyx【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下,通常有无数组整数解,由于求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的,将解中的参数作适当代换,就可以化为同一形式.【实践】求方程 的整数解. 789243zyx答案: )(.1,8是 整 数、 vuzvy【例 8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有 28 个核桃,乙组同学每人有 30 个核桃,丙组同学没人有31 个核桃,三组共有核桃总数是 365 个.问:三个小组共有多少名同学?【分析】设甲组同学 a 人,乙组同学 b 人,丙组同学 c 人,由题意得 . 要求 ,3651028cbacba可以运用放缩法从确定 的取值范围入手.c【解答】设甲组同学 a 人,乙组同学 b 人,丙组同学 c 人,则 .3 , .)(31653028)( bab 2865165cba 是整数, =12 或 13.但当 =13 时,得 ,无正整数解.cc1答:三个小组共有 12 名同学.【点评】整体考虑和的问题,巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay 302. If she buys 5 radios,11 pens,3 bags,she will pay 508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?答案:96【例 9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字 1,黄球上标有数字 2,蓝球上标有数字 3.小明从布袋中摸出 10 个球,它们上面所标的数字和等于 21.(1) 小明摸出的球中,红球的个数最多不超过几个?(2) 若摸出的球中三种颜色都有,有多少种不同的摸法?【分析】由于知道三种球的个数和,因此可设二元.第(2)问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.【解答】 (1)设小明摸的红球有 x 个,黄球有 y 个,蓝球有 个,则 ,)( yx1021)0(32yxy整理,得 ,因为 x、y 均为正整数,可知 x 的最大值为 4.即红球最多不超过 4 个.y29(2)由(1)知蓝球的个数是 ,)29(10z又 .,0xxzy解 得 .4,31因此共有 4 种不同的摸法,如下:(1,7,2) , (2,5,3) , (3,3,4) , (4,1,5).【点评】此题求的是未知数的范围及可能取
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