2007 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第 I 至第 2 页，第II 卷第 3 至第 4 页全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟考生注意事项：1答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致2答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号3答第 II 卷时，必须用 毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写在试题卷上作答无0.5效4考试结束，监考员将试题和答题卡一并收回参考公式：如果事件 互斥，那么 球的表面积公式AB，()()PP24SR如果事件 相互独立，那么 球的体积公式， 1122nL3V其中 表示球的半径()62331124nL第 I 卷（选择题共 55 分）一、选择题：本大题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若 ， ，则 （）21Ax230BxABI 312椭圆 的离心率为（）24xy 332233等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （）nanS21a34S 1210864下列函数中，反函数是其自身的函数为（） ， ()fx)， 3()()fx， ， ，()e()xf， ， 1()fx(0)，5若圆 的圆心到直线 的距离为 ，则 的值为（240yya2a） 或 或 或 或1232006设 ， ， 均为直线，其中 在平面 内，则“ ”是“ 且 ”的tmnmn， llmln（）充分不必要条件 必要不充分条件充分必要条件 既不充分也不必要条件7图中的图象所表示的函数的解析式为（） 312yx(02)x yx()x 102 8设 ，且 ， ， ，则 的大小alog(1)amlog(1)anlog(2)apmnp， ，关系为（） nppmn9如果点 在平面区域 上，点 在曲线 上，那么P201xy Q22()1xy的最小值为（）Q 32415212110把边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角，折成直二面角后，在ABCD四点所在的球面上， 与 两点之间的球面距离为（）ABC， ， ， 22311定义在 上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周期若将方R()fxT程 在闭区间 上的根的个数记为 ，则 可能为（）()0fxT， n0 1 3 532yx1 2O第 7 题图2007 年普通高等学校招生全国统一考试（安微卷）数学（文科）第 II 卷（非选择题共 95 分）注意事项：请用 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效0.5二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置12已知 ，则 的23501(1)xaxaxx024135()()aa值等于 13在四面体 中， ， ， ， 为 的中点， 为 的OABCurOBbrCcurDBEAD中点，则 （用 表示）Eur a， ，14在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为 15函数 的图象为 ，如下结论中正确的是 （写出()3sin2fxx所有正确结论的编号） 图象 关于直线 对称；C12图象 关于点 对称；03，函数 在区间 内是增函数；()fx512，由 的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 3siny3C三、解答题：本大题共 6 小题，共 79 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16 （本小题满分 10 分）解不等式 (1)(si2)0xx17 （本小题满分 14 分）如图，在六面体 中，四边形 是边长为 2 的1ABCDABCD正方形，四边形 是边长为 1 的正方形， 平面1 1， 平面 ， 1AB2（）求证： 与 共面， 与 共面1CA1B（）求证：平面 平面 ；1DA B CD1A1BCD（）求二面角 的大小（用反三角函数值表示）1ABC18 （本小题满分 14 分）设 是抛物线 的焦点F2:4Gxy（I）过点 作抛物线 的切线，求切线方程；(0)P，（II）设 为抛物线 上异于原点的两点，且满足 ，延长 ， 分别AB， 0FABurgAFB交抛物线 于点 ，求四边形 面积的最小值CD， ABC19 （本小题满分 13 分）在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象一个关有 6 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 8 只蝇子：6 只果蝇和 2 只苍蝇） ，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔（I）求笼内恰好剩下 1 只果蝇的概率；（II）求笼内至少剩下 5 只果蝇的概率20 （本小题满分 14 分）设函数 ， ，232()cos4incos44xfxtttxR其中 ，将 的最小值记为 1t f()g（I）求 的表达式；()g（II）讨论 在区间 内的单调性并求极值t(1)，21 （本小题满分 14 分）某国采用养老储备金制度公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 ，以后每年1a交纳的数目均比上一年增加 ，因此，历年所交纳的储备金数目 是一个公(0)d 2L中差为 的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算d复利这就是说，如果固定年利率为 ，那么，在第 年末，第一年所交纳的储备金()rn就变为 ，第二年所交纳的储备金就变为 ， 以 表示到第 年末11()nar 22(1)arLnT所累计的储备金总额（）写出 与 的递推关系式；nT1(2)（）求证： ，其中 是一个等比数列， 是一个等差数列nABnAnB2007 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文史）参考答案一、选择题：本题考查基本知识的基本运算每小题 5 分，满分 55 分1 2 3 4 5 67 8 9 10 11二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 16 分12 13 14 155612abc31三、解答题16本小题主要考查三角函数的基本性质，含绝对值不等式的解法，考查基本运算能力本小题满分 10 分解：因为对任意 ， ，所以原不等式等价于 xRsin20x310x即 ， ， ，故解为 3131320所以原不等式的解集为 0x17本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力本小题满分 14 分解法 1（向量法）：以 为原点，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系D1ACD中 xyz如图，xyz则有 1111(20)()(02)()(2)(0)(2)ABCABCD中中（）证明： 1 0Durururr中1CDr中与 平行， 与 平行，A 1Br于是 与 共面， 与 共面1A BCD1A1BCDxy（）证明： ， ，1(02)0DACur中 (20)0DBACur中， 1r B与 是平面 内的两条相交直线1平面 AC D又平面 过 1平面 平面 1B（）解： 1 1(02)(2)(02)ACururur中设 为平面 的法向量，(xyz中n1， 11r 11Bxyzrn于是 ，取 ，则 ， 0yz12(0)中设 为平面 的法向量，22()x中mC， 10Byzur 12yzurm于是 ，取 ，则 ， 20x212(0)中cos5中nm二面角 的大小为 1ABC1arcos5解法 2（综合法）：（）证明： 平面 ， 平面 1D 1A1DABC， ，平面 平面 1 于是 ， C 1设 分别为 的中点，连结 ，EF中DAC中 1EFAC中有 11D ， A B CD1A1BCDMOEF于是 1ACEF由 ，得 ，DAC故 ， 与 共面1 1过点 作 平面 于点 ，BOBDO则 ，连结 ，11AECF中 EF中于是 ， ， 1 ， 11BD OA， C FC所以点 在 上，故 与 共面1B（）证明： 平面 ， ，D A1DAC又 （正方形的对角线互相垂直） ，BAC与 是平面 内的两条相交直线，11平面 又平面 过 ， 平面 平面 1A 1AC1BD（）解： 直线 是直线 在平面 上的射影， ， DBACB根据三垂线定理，有 1过点 在平面 内作 于 ，连结 ，A1AMMO中则 平面 ，1BC于是 ，1BO中所以， 是二面角 的一个平面角A1根据勾股定理，有 1156CB中，有 ， ， ， 1OMB 123O2M103A103CM， ，221cos 5AMC 1arcos5AMC二面角 的大小为 1Barcos18本小题主要考查抛物线的方程与性质，抛物线的切点与焦点，向量的数量积，直线与抛物线的位置关系，平均不等式等基础知识，考查综合分析问题、解决问题的能力本小题满分 14 分解：（I）设切点 由 ，知抛物线在 点处的切线斜率为 ，故所求切204xQ， xyQ02x线方程为 200()y即 204x因为点 在切线上()P，所以 ， ， 204x1604x所求切线方程为 y（II）设 ， 1()Ax， 2()Cx，由题意知，直线 的斜率 存在，由对称性，不妨设 k0k因直线 过焦点 ，所以直线 的方程为 (0)F， A1yx点 的坐标满足方程组AC， 214yx，得 ，240xk由根与系数的关系知 124.xk，222221111()()()4()ACyxxk因为 ，所以 的斜率为 ，从而 的方程为 BDkBD1y同理可求得 224()4122218(1)1()32ABCDkS k当 时，等号成立所以，四边形 面积的最小值为 kABCD219本小题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算，运用概率知识分析问题及解决实际问题的能力本小题满分 13 分解：以 表示恰剩下 只果蝇的事件 kAk(016)kL， ， ，以 表示至少剩下 只果蝇的事件 mBm， ， ，可以有多种不同的计算 的方法()kPA方法 1（组合模式）：当事件 发生时，第 只飞出的蝇子是苍蝇，且在前 只飞8k7k出的蝇子中有 1 只是苍蝇，所以 1728()kkC方法 2（排列模式）：当事件 发生时，共飞走 只蝇子，其中第 只飞出的蝇子kA8k是苍蝇，哪一只？有两种不同可能在前 只飞出的蝇子中有 只是果蝇，有7k6种不同的选