持续期模型的若干探讨华 南 师 范 大 学本 科 毕 业 论 文论文题目：持续期模型的若干探讨指导老师：易建新学生姓名：谢海亮学 号：20060003007院 系：数学科学学院专 业：金融数学与金融工程毕业时间：2010 年 6 月持续期模型的若干探讨中文摘要本文回顾了固定收益证券利率风险衡量的模型，并对持续期模型进行了详细分析和应用。在这个基础上，介绍持续期模型的两种改善模型：Fisher-Weil 持续期和指数持续期模型。在文章最后做了两项工作，一是介绍了持续期模型的一种推广：近似持续期模型；二是给出了笔者关于持续期模型的一种推广。关键词：固定收益证券，利率风险管理，持续期模型 持续期模型的若干探讨ABSTRACTThis paper reviews the fixed-income securities interest rate risk measurement models, analyses the duration model in detail and applies it to practice. On this basis, introduces two improved duration models: Fisher-Weil duration and exponential duration. In the end, this article did two tasks: first，introduce a promotion of the duration model: Approximate duration; Second, I gave another kind of promotion of the duration model.Key Words：Fixed-Income Security, Interest Rate Risk Management, Duration Model持续期模型的若干探讨- 1 -自从西方国家放开利率管制后，市场利率的可预测性降低，波动幅度增大，对固定收益证券的影响越来越大。而对于持有主要是固定收益证券这一类利率敏感性资产和负债的金融机构而言，利率风险已经上升成为其主要风险。在这一背景下，对利率风险管理的持续期模型逐渐成熟。1传统方法的利率风险衡量11 以证券的期限为度量一般而言，期限越长的债券，其价格受到利率变动的影响越大，其利率风险也越大。因此，人们常用期限来度量债券的利率风险，这是衡量利率风险的最传统方法。但是，这只是一个很笼统的说法，对于期限相同的 Full-coupon bonds 和 Zero-coupon 而言，利率风险是不一样的。Full-coupon bonds 定期支付利息（通常每年两次） ，并到最后归还本金，期间所得利息收益可以进行再投资，所以受到利率的影响要小于后者。更有甚者，我们可以找到期限短的债券比期限长的债券利率风险大。为此，人们尝试改进这一方法。12 以证券的平均期限为度量这种改进的方法是计算债券的平均到期时间，也就是用未来的付款作为权数来计算债券的平均到期时间，以此衡量债券的利率风险。对于期限为 1 年，票面利率为 8%的Full-coupon bonds 而言，该债券的平均期限为 ；而对(0.45.).08.9()年于 Zero-coupon 而言，平均期限就等于该债券的期限。改进方法的优点：较之 11 所用方法考虑了利息的抵抗利率风险的作用。改进方法的缺点：投资期间，所得利息可以再投资，而改进未考虑利息的时间价值。2以持续期为核心的经典模型为了解决货币时间价值的困扰， Macaulay 持续期 应运而生。Macaulay 持续期是用数学的方法估计债券价格对其收益变动的敏感性，按现金流的加权平均时间计算，利息和本金的现值作为权数。21 以货币现值为权数的平均期限为度量这一方法用年数表示现金流现值的加权平均时间价值，也就是我们经常使用的Macaulay 持续期(下文在不造成混淆的情况下简称持续期)。211 持续期的计算公式Macaulay, Frederick R. The movement of interest rates, bond yields, and stock prices in the united states since 1856M . New York: National Bureau of Economic Research, 1938.持续期模型的若干探讨- 2 -固定收益证券的现值为：1()NttCPVi(21)其中： 债券的现值；PV到期收益率；i到期前的期数；N收到现金流的时期；t时的现金流。tC而持续期可以通过 进行计算： (2)11()NNttt tCviDPV(2)其中： 债券的续期；贴现率。1vi可见，持续期越大说明未来付款的加权到期时间越长，从而债券价格对收益率的敏感性越高，债券的利率风险越大。持续期仍然是一个时间概念，可以用年、月等时间单位计量。212 持续期是关于收益率的减函数 1如果用 表示付款到期时间 的方差，则持续期对 求导，可得2t i2()1dDii(23)显然持续期是收益率的减函数。换言之，市场利率越高，持续期越短，从而债券价格对市场利率变动的敏感性越小，债券的利率风险越小。这是很容易理解的：市场利率较大的时候，利率变动的幅度相对于利率较小的时候小，所以对债券的影响也就没这么大。213 持续期与票面利率的关系由于固定收益证券的种类繁多，就只拿最常见的类型进行说明。市场利率 为 时，i10%期限为 ，票面利率为 的债券的持续期图如下 ：Nr(21)持续期模型的若干探讨- 3 -0 0.10.2 0.30.4 0.5020406005101520为为为为为为为为为0.1为为为为为为为为为为为为为图 (2)可以看出：该情况下，债券持续期随着票面利率的上升而下降，且下降速度越来越小。214 持续期与到期时间的关系直观地想，债券的持续期应该随着债券到期时间的延长而增加，但事实并非总是如此。如果债券在未来的每期息票收入相等，并在到期日一次性支付本金，则债券持续期表示 Babcock 公式：(1)niyDai&(24)其中： 票面利率；r到期日本金；F息票收入与债券价格的比率；yPV支付期限为 ，每个时期之初支付 元，收益率为 的年金的现值。nia&n1i显而易见，持续期是一个加权平均数。而又在大多数情况下， 约为 1，所以对于yi每期息票收入相等的某些债券而言，我们可以认为：niDa&(25)持续期模型的若干探讨- 4 -从 可以看出，大多数债券的持续期都是随着到期日期的增加而增大。(25)不过也存在例外的情况。简单起见，我们下面只讨论每年一期且每期息票相等的债券。记 为到期日期为 债券的持续期。那么可得：nDn12()()nnriiniD (26)由 可知，该债券的持续期是关于 的一个映射。为了研究的方便，令(26),ri（由 213 可知 越小，持续期的变化越大） ，且把 看成连续变量，那么我们0.5rr n就可以把持续期看成一个两元函数 。0.5(,)in利用 MATLAB 作图，得图 ：20 0.20.4 0.60.8 105010001020304050为 为 为为 为 为 为 为 0.05为 为 为 为 为 为为 为为为为图 ()显而易见，在某些特定的收益率 （较大）时，随着期限的增长持续期不呈单调上升i状态。通过观察不同 水平下的持续期图，可以发现 越大，这种情况不易出现；而 越r r r小，出现的可能性则越大。所以，持续期不是期限的单调函数，用期限作为利率风险的衡量指标是有风险的。215 投资组合的持续期 引理：假设现金流 的现在价值为 ；现金流 的现在价值为12(,)nx xPV12(,)my持续期模型的若干探讨- 5 -，假设 ，则其组合为一个现金流 ，yPVmn121(,)nnmxyxy其现在价值为 。xyxyPV定理：假设同上，则投资组合持续期为：xyDyxyxPVD (27)证明： 111()().nnmnxy xyvtvttyvtPV 11nmtttxyvPV1ntxtyxPV1mtytxy yxyxD推论：债券组合的持续期是组合资产持续期的加权总和，权数是相应资产的投资比重，即：组 合 k (28)其中 为第 资产的投资比重。i22 修正持续期221 修正持续期的公式及含义我们一般将市场利率变化导致债券价格变化的幅度大小称为债券的利率风险，即。显然 是负的，所以我们用 表示债券的利率风险，记为 。当PVii PVi*D时， 。将 代入其中，得：0i*()PViD2)*1Dvi (29)故人们将这一指标称为修正持续期。由修正持续期的构造可以知道，修正持续期的含义为：市场利率变动 （绝对量）时，债券的价格变动为 （相对量） 。在这里，修i*Di正持续期已经不再是一个时间概念了，而是一个强度概念，表现为债券现值的收益率弹性。其实，持续期也有相类似的含义。由 可得：(29)0*1(1)iPVDi (210)持续期模型的若干探讨- 6 -可知，持续期表现为债券现值的折现因子弹性。但是市场利率通常以绝对量进行变动，故修正持续期更为常用。222 修正持续期是关于收益率的减函数由于持续期是市场利率的减函数，所以，修正持续期也是收益率的减函数。换言之，市场利率越高，修正持续期越小，从而债券价格对市场利率变动的敏感性越小，债券的利率风险越小。223 修正持续期与票面利率的关系修正持续期与票面利率的关系类似于持续期与票面利率的关系。224 修正持续期与到期时间的关系修正持续期与到期时间的关系类似于持续期与到期时间的关系。225 投资组合的修正持续期定理：假设同 215，则投资组合修正持续期为：*xyD*yxyxPVD (21)推论：债券组合的修正持续期是组合资产修正持续期的加权总和，权数是单个债券的投资比重，即：*组 合 *k (21)其中 为第 资产的投资比重。i226连续复利下的持续期和修正持续期在采用连续复利 来计算持续期和修正持续期时，那么债券的价值为：ci1cNittPVCe(213)持续期和修正持续期是相同的，即有*1cNitteDPV (214)23 凸度231 凸度的定义如果将债券的价格函数用泰勒级数展开，则有：2200001()()()()2PViiPViPVioi(15)持续期模型的若干探讨- 7 -在上式中， 是关于 的高阶无穷小量，可以忽略不计。此时，将等式20()oi20()i右边的 移到等式左边，并在等式两边同时除以 ，则可以将债券价格的相对0)PVi 0()PVi变化率表示为下述更加精确的近似公式：*2.5()PVDii(216)因为债券价格不是关于收益率的线性函数，所以单单用修正持续期是无法准确的描述债券价格关于利率变化的变化。为此，人们引进了凸度这个概念，记凸度为：()iCPV (217)如果债券现金流为 ，则有凸度为：01(,)n21()(nttCii(8)232 凸度是市场利率的减函数凸度对 求导，可得i2()dCPVi12()()NtststsCvvCPV0显然持续期是市场利率的减函数。换言之，在其他条件不变的情况下，市场利率越高，债券的凸度越小，市场利率越低，债券的凸度越大。 233 投资组合的凸度定理：假设同 215，则投资组合的凸度为：xyCyxyx